Номер 22.25, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.25, страница 217.

Условие.

22.25. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{m^6}$, если $m \geq 0$;

2) $\sqrt[4]{n^4}$, если $n \leq 0$;

3) $\sqrt[8]{256k^8}$, если $k \leq 0$;

4) $\sqrt[6]{c^{24}};$

5) $\sqrt{0.25b^{14}}$, если $b \leq 0$;

6) $\sqrt[4]{81x^8y^4}$, если $y \geq 0$;

7) $\sqrt{0.01a^6b^{10}}$, если $a \leq 0, b \geq 0$;

8) $-1.2x\sqrt[6]{64x^{30}}$, если $x \leq 0$.

Решение.

1) Используем свойство корня четной степени: $ \sqrt[2n]{a^{2n}} = |a| $. В данном случае $ \sqrt[6]{m^6} = |m| $.
По условию $ m \ge 0 $, следовательно, $ |m| = m $.
Ответ: $ m $.

2) Используем свойство корня четной степени: $ \sqrt[4]{n^4} = |n| $.
По условию $ n \le 0 $, следовательно, $ |n| = -n $.
Ответ: $ -n $.

3) Преобразуем подкоренное выражение: $ 256k^8 = 2^8 \cdot k^8 = (2k)^8 $.
Тогда выражение принимает вид $ \sqrt[8]{(2k)^8} $.
Используем свойство корня четной степени: $ \sqrt[8]{(2k)^8} = |2k| = 2|k| $.
По условию $ k \le 0 $, следовательно, $ |k| = -k $.
Таким образом, $ 2|k| = 2(-k) = -2k $.
Ответ: $ -2k $.

4) Представим подкоренное выражение в виде степени с показателем 6: $ c^{24} = (c^4)^6 $.
Тогда $ \sqrt[6]{c^{24}} = \sqrt[6]{(c^4)^6} $.
Используем свойство корня четной степени: $ \sqrt[6]{(c^4)^6} = |c^4| $.
Так как $ c^4 $ всегда неотрицательно ( $ c^4 \ge 0 $ ) при любом значении $ c $, то $ |c^4| = c^4 $.
Ответ: $ c^4 $.

5) Преобразуем подкоренное выражение: $ \sqrt{0,25b^{14}} = \sqrt{(0,5)^2 \cdot (b^7)^2} = \sqrt{(0,5b^7)^2} $.
Корень квадратный является корнем четной степени, поэтому $ \sqrt{(0,5b^7)^2} = |0,5b^7| = 0,5|b^7| $.
По условию $ b \le 0 $. Так как степень 7 нечетная, то $ b^7 \le 0 $.
Следовательно, $ |b^7| = -b^7 $.
Получаем $ 0,5(-b^7) = -0,5b^7 $.
Ответ: $ -0,5b^7 $.

6) Преобразуем подкоренное выражение: $ 81x^8y^4 = 3^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 = (3x^2y)^4 $.
Тогда $ \sqrt[4]{81x^8y^4} = \sqrt[4]{(3x^2y)^4} $.
Используем свойство корня четной степени: $ \sqrt[4]{(3x^2y)^4} = |3x^2y| = |3| \cdot |x^2| \cdot |y| = 3|x^2||y| $.
Выражение $ x^2 $ всегда неотрицательно ($ x^2 \ge 0 $), поэтому $ |x^2| = x^2 $.
По условию $ y \ge 0 $, поэтому $ |y| = y $.
В результате получаем $ 3x^2y $.
Ответ: $ 3x^2y $.

7) Преобразуем подкоренное выражение: $ \sqrt{0,01a^6b^{10}} = \sqrt{(0,1)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^5)^2} = \sqrt{(0,1a^3b^5)^2} $.
Применяем свойство корня четной степени: $ \sqrt{(0,1a^3b^5)^2} = |0,1a^3b^5| = 0,1|a^3||b^5| $.
По условию $ a \le 0 $. Так как степень 3 нечетная, то $ a^3 \le 0 $, и $ |a^3| = -a^3 $.
По условию $ b \ge 0 $. Так как степень 5 нечетная, то $ b^5 \ge 0 $, и $ |b^5| = b^5 $.
Подставляя, получаем: $ 0,1(-a^3)(b^5) = -0,1a^3b^5 $.
Ответ: $ -0,1a^3b^5 $.

8) Сначала упростим корень: $ \sqrt[6]{64x^{30}} $.
Преобразуем подкоренное выражение: $ 64x^{30} = 2^6 \cdot (x^5)^6 = (2x^5)^6 $.
Тогда $ \sqrt[6]{64x^{30}} = \sqrt[6]{(2x^5)^6} = |2x^5| = 2|x^5| $.
По условию $ x \le 0 $. Так как степень 5 нечетная, то $ x^5 \le 0 $, и $ |x^5| = -x^5 $.
Следовательно, корень равен $ 2(-x^5) = -2x^5 $.
Теперь подставим это в исходное выражение: $ -1,2x^6 \cdot (-2x^5) $.
Перемножаем коэффициенты и степени: $ (-1,2 \cdot -2) \cdot (x^6 \cdot x^5) = 2,4x^{11} $.
Ответ: $ 2,4x^{11} $.