Номер 22.29, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.29, страница 218.

Условие.

22.29. Внесите множитель под знак корня:

1) $a\sqrt[4]{2}$, если $a \ge 0$;

2) $ab\sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}}$, если $a > 0, b < 0$;

3) $mn\sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}}>;$

4) $b\sqrt[6]{6}$;

5) $a\sqrt[6]{-a}$;

6) $ab\sqrt[4]{ab^2}$, если $b \le 0$.

Решение.

1) Чтобы внести множитель $a$ под знак корня четвертой степени, его необходимо возвести в четвертую степень. По условию $a \ge 0$, поэтому множитель неотрицательный, и знак перед корнем при его внесении не меняется.
$a\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{a^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{2a^4}$.
Ответ: $\sqrt[4]{2a^4}$.

2) Множитель, который нужно внести под знак корня, это $ab$. По условию $a > 0$ и $b < 0$, следовательно, произведение $ab < 0$.
Так как степень корня (6) четная, а вносимый множитель ($ab$) отрицательный, то перед корнем необходимо поставить знак «минус», а под корень внести множитель, возведенный в степень корня.
$ab\sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{(ab)^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{a^6b^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{\frac{6a^6b^6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{6a^{6-3}b^{6-2}} = -\sqrt[6]{6a^3b^4}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{6a^3b^4}$.

3) Исходное выражение имеет смысл только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно: $\frac{1}{m^3n^3} \ge 0$. Это выполняется при $m^3n^3 > 0$, что равносильно условию $mn > 0$.
Следовательно, множитель $mn$ является положительным. При внесении положительного множителя под знак корня четной степени (4), множитель возводится в степень корня и умножается на подкоренное выражение.
$mn\sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{(mn)^4 \cdot \frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{\frac{m^4n^4}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{m^{4-3}n^{4-3}} = \sqrt[4]{mn}$.
Ответ: $\sqrt[4]{mn}$.

4) Степень корня (6) — четная. Знак множителя $b$ не задан, поэтому необходимо рассмотреть два случая.
1. Если $b \ge 0$, множитель неотрицательный. Вносим его под корень, возведя в шестую степень:
$b\sqrt[6]{6} = \sqrt[6]{b^6 \cdot 6} = \sqrt[6]{6b^6}$.
2. Если $b < 0$, множитель отрицательный. При внесении под корень четной степени, перед корнем ставится знак «минус»:
$b\sqrt[6]{6} = -(-b)\sqrt[6]{6} = -\sqrt[6]{(-b)^6 \cdot 6} = -\sqrt[6]{b^6 \cdot 6} = -\sqrt[6]{6b^6}$.
Ответ: Если $b \ge 0$, то $\sqrt[6]{6b^6}$; если $b < 0$, то $-\sqrt[6]{6b^6}$.

5) Выражение определено, когда подкоренное выражение неотрицательно: $-a \ge 0$, что означает $a \le 0$.
Степень корня (6) — четная, а множитель $a$ — неположительный ($a \le 0$).
Если $a=0$, выражение равно 0. Если $a < 0$, множитель отрицателен. При внесении отрицательного множителя под корень четной степени, перед корнем ставится знак «минус».
$a\sqrt[6]{-a} = -\sqrt[6]{a^6 \cdot (-a)} = -\sqrt[6]{-a^7}$.
Эта формула также верна и для $a=0$.
Ответ: $-\sqrt[6]{-a^7}$.

6) По условию $b \le 0$. Чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ab^2 \ge 0$. Так как $b^2 \ge 0$ для любого $b$, это условие выполняется при $a \ge 0$.
Таким образом, имеем $a \ge 0$ и $b \le 0$. Множитель $ab$ является произведением неотрицательного числа на неположительное, следовательно $ab \le 0$.
Степень корня (4) — четная. Вносим неположительный множитель $ab$ под знак корня. Если $ab = 0$, то все выражение равно 0. Если $ab < 0$, то перед корнем ставим знак «минус».
$ab\sqrt[4]{ab^2} = -\sqrt[4]{(ab)^4 \cdot ab^2} = -\sqrt[4]{a^4b^4 \cdot ab^2} = -\sqrt[4]{a^{4+1}b^{4+2}} = -\sqrt[4]{a^5b^6}$.
Формула верна и для случая $a=0$ или $b=0$.
Ответ: $-\sqrt[4]{a^5b^6}$.