Номер 22.34, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.34, страница 218.

Условие.

22.34. Упростите выражение:

1) $\sqrt[8]{(\sqrt{5}-2)^4}$;

2) $\sqrt[10]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$;

3) $\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3}$;

4) $\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3}$.

Решение.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[8]{(\sqrt{5}-2)^4}$ воспользуемся свойством $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{|a|^m}$, которое применяется при сокращении на четный множитель $k$. В данном случае показатель корня 8 и показатель степени 4 имеют общий делитель $k=4$. Сокращая на 4, получаем:
$\sqrt[8]{(\sqrt{5}-2)^4} = \sqrt[2 \cdot 4]{(\sqrt{5}-2)^{1 \cdot 4}} = \sqrt[2]{|\sqrt{5}-2|^1} = \sqrt{|\sqrt{5}-2|}$.
Далее определим знак выражения под модулем. Сравним числа $\sqrt{5}$ и $2$. Поскольку $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, то есть $\sqrt{5} > 2$.
Следовательно, разность $\sqrt{5}-2$ положительна, и $|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$.
В результате получаем $\sqrt{\sqrt{5}-2}$.
Ответ: $\sqrt{\sqrt{5}-2}$.

2) Упростим выражение $\sqrt[10]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$. Показатели корня (10) и степени (2) имеют общий делитель $k=2$. Так как $k=2$ - четное число, при сокращении используем модуль:
$\sqrt[10]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2} = \sqrt[5 \cdot 2]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^{1 \cdot 2}} = \sqrt[5]{|\sqrt{3}-\sqrt{5}|}$.
Теперь определим знак выражения под модулем. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Поскольку $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$.
Следовательно, разность $\sqrt{3}-\sqrt{5}$ отрицательна. По определению модуля, $|\sqrt{3}-\sqrt{5}| = -(\sqrt{3}-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.
Таким образом, итоговое выражение равно $\sqrt[5]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.
Ответ: $\sqrt[5]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.

3) Упростим выражение $\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3}$. Воспользуемся свойством $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое применяется при сокращении на нечетный множитель $k$. Здесь показатель корня 12 и показатель степени 3 имеют общий делитель $k=3$. Так как $k=3$ - нечетное число, модуль не ставится:
$\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{(\sqrt{11}-3)^{1 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\sqrt{11}-3}$.
Нужно убедиться, что выражение имеет смысл, так как мы получили корень четной степени. Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Проверим знак $\sqrt{11}-3$. Сравним $\sqrt{11}$ и $3$. Поскольку $11 > 9$, то $\sqrt{11} > \sqrt{9}$, то есть $\sqrt{11} > 3$.
Значит, $\sqrt{11}-3 > 0$, и выражение определено.
Ответ: $\sqrt[4]{\sqrt{11}-3}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3}$. Показатели корня (15) и степени (3) имеют общий делитель $k=3$. Так как $k=3$ - нечетное число, при сокращении модуль не требуется:
$\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3} = \sqrt[5 \cdot 3]{(\sqrt{7}-3)^{1 \cdot 3}} = \sqrt[5]{\sqrt{7}-3}$.
Полученный корень является корнем нечетной степени, который определен для любого действительного подкоренного выражения, поэтому дополнительная проверка не нужна.
(Для информации определим знак выражения: сравним $\sqrt{7}$ и $3$. Так как $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}$, то есть $\sqrt{7} < 3$. Следовательно, $\sqrt{7}-3$ - отрицательное число, и результат также будет отрицательным).
Ответ: $\sqrt[5]{\sqrt{7}-3}$.