Номер 22.41, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.41, страница 220.

Условие.

22.41. Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

1) $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$;

2) $\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$.

Решение.

1) Обозначим данное выражение через $x$:

$x = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$

Возведем обе части равенства в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:

$x^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3$

$x^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}})^3 + (\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} \cdot (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})$

Упростим полученное выражение. Сначала найдем сумму кубов:

$(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}})^3 + (\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3 = (7+5\sqrt{2}) + (7-5\sqrt{2}) = 14$.

Теперь найдем произведение подкоренных выражений под общим кубическим корнем:

$\sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})(7-5\sqrt{2})} = \sqrt[3]{7^2 - (5\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{49 - 50} = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Сумма в скобках в развернутой формуле куба является исходным выражением $x$.

Подставим все найденные значения в уравнение для $x^3$:

$x^3 = 14 + 3 \cdot (-1) \cdot x$

$x^3 = 14 - 3x$

Мы получили кубическое уравнение:

$x^3 + 3x - 14 = 0$

Найдем рациональные корни этого уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, они должны быть делителями свободного члена (-14). Делители числа -14: $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.

Проверим подстановкой $x=2$:

$2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$.

Поскольку $x=2$ является корнем уравнения, а исходное выражение является действительным числом, его значение равно 2. Чтобы убедиться, что это единственный действительный корень, разделим многочлен $x^3 + 3x - 14$ на $(x-2)$. В результате деления получим $x^2 + 2x + 7$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 < 0$, следовательно, других действительных корней у уравнения нет.

Значение выражения равно 2, что является рациональным числом.

Ответ: значение выражения равно 2, что является рациональным числом.

2) Обозначим данное выражение через $y$:

$y = \sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$

Возведем обе части равенства в куб, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3-b^3-3ab(a-b)$:

$y^3 = (\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10})^3$

$y^3 = (\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10})^3 - (\sqrt[3]{6\sqrt{3}-10})^3 - 3 \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10} \cdot (\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10})$

Упростим полученное выражение. Сначала найдем разность кубов:

$(\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10})^3 - (\sqrt[3]{6\sqrt{3}-10})^3 = (6\sqrt{3}+10) - (6\sqrt{3}-10) = 6\sqrt{3}+10-6\sqrt{3}+10 = 20$.

Теперь найдем произведение подкоренных выражений под общим кубическим корнем:

$\sqrt[3]{(6\sqrt{3}+10)(6\sqrt{3}-10)} = \sqrt[3]{(6\sqrt{3})^2 - 10^2} = \sqrt[3]{108 - 100} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Разность в скобках в развернутой формуле куба является исходным выражением $y$.

Подставим все найденные значения в уравнение для $y^3$:

$y^3 = 20 - 3 \cdot 2 \cdot y$

$y^3 = 20 - 6y$

Мы получили кубическое уравнение:

$y^3 + 6y - 20 = 0$

Найдем рациональные корни этого уравнения. Они должны быть делителями свободного члена (-20). Делители числа -20: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$.

Проверим подстановкой $y=2$:

$2^3 + 6 \cdot 2 - 20 = 8 + 12 - 20 = 0$.

Поскольку $y=2$ является корнем уравнения, а исходное выражение является действительным числом, его значение равно 2. Чтобы убедиться, что это единственный действительный корень, разделим многочлен $y^3 + 6y - 20$ на $(y-2)$. В результате деления получим $y^2 + 2y + 10$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36 < 0$, следовательно, других действительных корней у уравнения нет.

Значение выражения равно 2, что является рациональным числом.

Ответ: значение выражения равно 2, что является рациональным числом.