Номер 22.45, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.45, страница 220.

Условие.

22.45. Приведите пример такого многочлена с целыми коэффициентами, что число $\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ является его корнем.

Решение.

Пусть $x = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$. Чтобы найти многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является $x$, необходимо избавиться от иррациональности в данном выражении. Для этого возведем обе части равенства в третью степень.

$x^3 = (\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})^3$

Воспользуемся формулой для куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$. В нашем случае $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = \sqrt[3]{9}$.

Выполним вычисления для каждой части формулы:

• $a^3 = (\sqrt[3]{3})^3 = 3$
• $b^3 = (\sqrt[3]{9})^3 = 9$
• $ab = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3 \cdot 9} = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь подставим полученные значения обратно в разложение куба суммы:

$x^3 = 3 + 9 + 3 \cdot 3 \cdot (\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})$

$x^3 = 12 + 9(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})$

Заметим, что выражение в скобках является исходным числом $x$. Заменим его:

$x^3 = 12 + 9x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить многочлен, равный нулю:

$x^3 - 9x - 12 = 0$

Таким образом, искомый многочлен — это $x^3 - 9x - 12$. Его коэффициенты 1, 0, -9, -12 являются целыми числами, и по построению число $\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$ является его корнем.

Ответ: $x^3 - 9x - 12$