Номер 22.49, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.49, страница 220.

Условие.

22.49. Докажите равенство

$\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{6}}}} = \sqrt[1024]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[1024]{2-\sqrt{3}}$

10 радикалов

Решение.

Для доказательства данного равенства рассмотрим его левую и правую части по отдельности и покажем, что они равны одному и тому же значению.

1. Преобразование правой части равенства

Обозначим правую часть (RHS) как $R$:

$R = \sqrt[1024]{2+\sqrt{3}} + \sqrt[1024]{2-\sqrt{3}}$

Заметим, что $1024 = 2^{10}$. Введем обобщенную последовательность $Y_k$ для $k \ge 0$:

$Y_k = (2+\sqrt{3})^{1/2^k} + (2-\sqrt{3})^{1/2^k}$

В этих обозначениях правая часть исходного равенства есть $R = Y_{10}$.

Найдем рекуррентное соотношение для этой последовательности. Для этого возведем в квадрат $Y_{k+1}$:

$Y_{k+1}^2 = \left( (2+\sqrt{3})^{1/2^{k+1}} + (2-\sqrt{3})^{1/2^{k+1}} \right)^2$

$Y_{k+1}^2 = \left((2+\sqrt{3})^{1/2^{k+1}}\right)^2 + \left((2-\sqrt{3})^{1/2^{k+1}}\right)^2 + 2(2+\sqrt{3})^{1/2^{k+1}}(2-\sqrt{3})^{1/2^{k+1}}$

Упрощая степени и произведение под корнем, получаем:

$Y_{k+1}^2 = (2+\sqrt{3})^{1/2^k} + (2-\sqrt{3})^{1/2^k} + 2\left((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})\right)^{1/2^{k+1}}$

$Y_{k+1}^2 = Y_k + 2\left(4-3\right)^{1/2^{k+1}} = Y_k + 2(1)^{1/2^{k+1}} = Y_k + 2$

Так как члены последовательности $Y_k$ являются суммой положительных чисел, они положительны. Поэтому можно извлечь арифметический квадратный корень:

$Y_{k+1} = \sqrt{2 + Y_k}$

Теперь вычислим несколько первых членов последовательности, начиная с $k=0$:

$Y_0 = (2+\sqrt{3})^{1/2^0} + (2-\sqrt{3})^{1/2^0} = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$

Используя найденное рекуррентное соотношение, найдем $Y_1$ и $Y_2$:

$Y_1 = \sqrt{2 + Y_0} = \sqrt{2 + 4} = \sqrt{6}$

$Y_2 = \sqrt{2 + Y_1} = \sqrt{2 + \sqrt{6}}$

2. Анализ левой части равенства

Обозначим левую часть (LHS) как $L$:

$L = \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2+\sqrt{6}}}}}_{10 \text{ радикалов}}$

Рассмотрим структуру этого выражения "изнутри наружу".

Выражение с двумя вложенными радикалами: $E_2 = \sqrt{2+\sqrt{6}}$.

Выражение с тремя вложенными радикалами: $E_3 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}} = \sqrt{2+E_2}$.

В общем виде, если $E_k$ — это выражение с $k$ вложенными радикалами, то выражение с $k+1$ радикалами будет $E_{k+1} = \sqrt{2+E_k}$ для $k \ge 2$.

Левая часть исходного равенства $L$ является выражением с 10-ю радикалами, следовательно, $L = E_{10}$.

3. Сопоставление и вывод

Мы установили следующее:

1. Правая часть $R = Y_{10}$, где последовательность $Y_k$ определяется рекуррентным соотношением $Y_{k+1} = \sqrt{2+Y_k}$ (для $k \ge 0$). Мы вычислили, что $Y_2 = \sqrt{2+\sqrt{6}}$.
2. Левая часть $L = E_{10}$, где последовательность $E_k$ определяется рекуррентным соотношением $E_{k+1} = \sqrt{2+E_k}$ (для $k \ge 2$). Начальный член этой последовательности $E_2 = \sqrt{2+\sqrt{6}}$.

Поскольку обе последовательности $Y_k$ и $E_k$ для $k \ge 2$ начинаются с одного и того же члена ($Y_2 = E_2$) и подчиняются одному и тому же рекуррентному закону, все их соответствующие члены совпадают. То есть, $Y_k = E_k$ для всех $k \ge 2$.

В частности, при $k=10$, мы имеем $Y_{10} = E_{10}$.

Так как $R = Y_{10}$ и $L = E_{10}$, то $L=R$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.