Номер 22.52, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.52, страница 220.

Условие.

22.52. Найдите все натуральные значения $n$, при которых является целым числом значение выражения $\frac{2n+11}{n+3}$.

Решение.

22.52.

Для того чтобы значение выражения $\frac{2n + 11}{n + 3}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель $(2n + 11)$ делился нацело на знаменатель $(n + 3)$.

Чтобы найти все такие натуральные $n$, преобразуем данную дробь, выделив в ней целую часть. Для этого представим числитель $2n + 11$ таким образом, чтобы он содержал выражение из знаменателя, то есть $(n + 3)$:

$2n + 11 = 2n + 6 + 5 = 2(n + 3) + 5$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь и разделим ее на две части:

$\frac{2(n + 3) + 5}{n + 3} = \frac{2(n + 3)}{n + 3} + \frac{5}{n + 3} = 2 + \frac{5}{n + 3}$

Полученное выражение $2 + \frac{5}{n + 3}$ будет целым числом тогда и только тогда, когда дробь $\frac{5}{n + 3}$ является целым числом. Это возможно только в том случае, если ее знаменатель $(n + 3)$ является делителем ее числителя, то есть числа 5.

Целыми делителями числа 5 являются числа $1, -1, 5, -5$. Приравняем знаменатель к каждому из этих делителей, чтобы найти возможные значения $n$:
1) $n + 3 = 1 \implies n = 1 - 3 = -2$
2) $n + 3 = 5 \implies n = 5 - 3 = 2$
3) $n + 3 = -1 \implies n = -1 - 3 = -4$
4) $n + 3 = -5 \implies n = -5 - 3 = -8$

По условию задачи, $n$ — натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$. Из всех найденных значений $n$ этому условию удовлетворяет только $n = 2$.

Выполним проверку: при $n = 2$ значение выражения равно $\frac{2(2) + 11}{2 + 3} = \frac{4 + 11}{5} = \frac{15}{5} = 3$. Число 3 является целым.

Ответ: 2.