Номер 23.5, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.5, страница 226.

Условие.

23.5. Найдите значение выражения:

1) $4^{\frac{1}{2}};$

2) $3 \cdot 64^{-\frac{1}{3}};$

3) $-5 \cdot 0,01^{-\frac{3}{2}};$

4) $0,216^{-\frac{1}{3}};$

5) $27^{\frac{4}{3}};$

6) $32^{-0,2}.$

Решение.

1) $4^{\frac{1}{2}}$

Степень с дробным показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня. Таким образом, нам нужно найти квадратный корень из 4.

$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

Также можно представить основание 4 как степень числа 2, то есть $4=2^2$, и воспользоваться свойством степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1 = 2$

Ответ: 2

2) $3 \cdot 64^{-\frac{1}{3}}$

Сначала вычислим значение выражения $64^{-\frac{1}{3}}$. Отрицательный показатель степени означает, что мы должны взять обратное число ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), а показатель $\frac{1}{3}$ означает извлечение кубического корня.

$64^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}}$

Так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.

Следовательно, $64^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$.

Теперь умножим полученный результат на 3:

$3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

3) $-5 \cdot 0,01^{-\frac{3}{2}}$

Сначала вычислим значение $0,01^{-\frac{3}{2}}$. Удобнее всего представить десятичную дробь 0,01 в виде степени числа 10: $0,01 = 10^{-2}$.

$0,01^{-\frac{3}{2}} = (10^{-2})^{-\frac{3}{2}}$

При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

$(10^{-2})^{-\frac{3}{2}} = 10^{-2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 10^3 = 1000$

Теперь умножим полученный результат на -5:

$-5 \cdot 1000 = -5000$

Ответ: -5000

4) $0,216^{-\frac{1}{3}}$

Представим десятичную дробь 0,216 в виде обыкновенной: $0,216 = \frac{216}{1000}$.

$0,216^{-\frac{1}{3}} = (\frac{216}{1000})^{-\frac{1}{3}}$

Отрицательная степень "переворачивает" дробь:

$(\frac{1000}{216})^{\frac{1}{3}}$

Степень $\frac{1}{3}$ означает извлечение кубического корня:

$\sqrt[3]{\frac{1000}{216}} = \frac{\sqrt[3]{1000}}{\sqrt[3]{216}}$

Поскольку $10^3 = 1000$ и $6^3 = 216$, получаем:

$\frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$

5) $27^{\frac{4}{3}}$

Выражение $a^{\frac{m}{n}}$ можно представить как $(\sqrt[n]{a})^m$.

$27^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{27})^4$

Кубический корень из 27 равен 3, так как $3^3 = 27$.

$(\sqrt[3]{27})^4 = 3^4$

Возводим 3 в четвертую степень:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Другой способ — представить 27 как $3^3$:

$27^{\frac{4}{3}} = (3^3)^{\frac{4}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{4}{3}} = 3^4 = 81$

Ответ: 81

6) $32^{-0,2}$

Сначала преобразуем десятичный показатель степени в обыкновенную дробь:

$-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

Таким образом, выражение принимает вид $32^{-\frac{1}{5}}$.

Отрицательная степень означает обратное число, а показатель $\frac{1}{5}$ — корень пятой степени.

$32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{32}}$

Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

В результате получаем:

$\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$