Номер 23.1, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.1, страница 225.

Условие.

23.1. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

1) $5^{\frac{1}{3}}$;

2) $b^{-\frac{1}{7}}$;

3) $(ab)^{\frac{4}{7}}$;

4) $(m+n)^{2.5}$.

Решение.

1) Чтобы представить степень с дробным показателем в виде корня, используется общее правило: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $n$ – показатель корня, а $m$ – показатель степени подкоренного выражения. В данном случае основание $a=5$, показатель степени подкоренного выражения $m=1$, а показатель корня $n=3$.
Применяя это правило, получаем: $5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5^1} = \sqrt[3]{5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{5}$.

2) Сначала преобразуем выражение с отрицательным показателем, используя свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$: $b^{-\frac{1}{7}} = \frac{1}{b^{\frac{1}{7}}}$.
Теперь представим степень в знаменателе в виде корня по правилу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Здесь основание $a=b$, $m=1$, $n=7$.
$b^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{b^1} = \sqrt[7]{b}$.
Следовательно, исходное выражение равно:
$\frac{1}{\sqrt[7]{b}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[7]{b}}$.

3) В этом выражении основание степени – это произведение $(ab)$, а показатель – дробь $\frac{4}{7}$. Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание $a=(ab)$, $m=4$ и $n=7$.
Подставляя значения в формулу, получаем:
$(ab)^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{(ab)^4}$.
Также можно раскрыть скобки под корнем: $\sqrt[7]{a^4b^4}$.
Ответ: $\sqrt[7]{(ab)^4}$.

4) Сначала необходимо преобразовать десятичный показатель степени $2,5$ в обыкновенную дробь:
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(m+n)^{\frac{5}{2}}$.
Теперь используем правило $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае основание $a=(m+n)$, $m=5$ и $n=2$.
$(m+n)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(m+n)^5}$.
Корень второй степени (квадратный корень) принято записывать без указания показателя корня $2$.
$\sqrt[2]{(m+n)^5} = \sqrt{(m+n)^5}$.
Ответ: $\sqrt{(m+n)^5}$.