Номер 23.3, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.3, страница 226.

Условие.

23.3. Представьте корень в виде степени с дробным показателем:

1) $\sqrt{x}$;

2) $\sqrt[7]{6^5}$;

3) $\sqrt[5]{2^{-2}}$;

4) $\sqrt[8]{a^7 - b^7}$.

Решение.

1) Для того чтобы представить корень в виде степени с дробным показателем, используется общая формула: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
В данном случае $\sqrt{x}$ является квадратным корнем, что означает, что показатель корня $n=2$. Подкоренное выражение $x$ находится в первой степени, то есть $m=1$.
Применяя формулу, получаем: $\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2}}$.

2) В выражении $\sqrt[7]{6^5}$ показатель корня $n=7$, а показатель степени подкоренного выражения $m=5$.
Согласно формуле $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, подставляем наши значения:
$\sqrt[7]{6^5} = 6^{\frac{5}{7}}$.
Ответ: $6^{\frac{5}{7}}$.

3) В выражении $\sqrt[5]{2^{-2}}$ показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-2$.
Используя ту же формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, получаем:
$\sqrt[5]{2^{-2}} = 2^{\frac{-2}{5}} = 2^{-\frac{2}{5}}$.
Ответ: $2^{-\frac{2}{5}}$.

4) В выражении $\sqrt[8]{a^7 - b^7}$ показатель корня $n=8$. Подкоренное выражение здесь — это целая разность $(a^7 - b^7)$. Степень этого выражения равна 1, то есть $m=1$.
Применяя формулу $\sqrt[n]{A^m} = A^{\frac{m}{n}}$, где $A = a^7 - b^7$, получаем:
$\sqrt[8]{a^7 - b^7} = (a^7 - b^7)^{\frac{1}{8}}$.
Ответ: $(a^7 - b^7)^{\frac{1}{8}}$.