Номер 23.8, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.8, страница 226.

Условие.

23.8. Чему равно значение выражения:

1) $5^{3,4} \cdot 5^{-1,8} \cdot 5^{-2,6}$;

2) $(7^{-0,7})^8 : 7^{-7,6}$;

3) $(9^7)^{4 \frac{2}{3}}$;

4) $(\frac{1}{16})^{-0,25}$;

5) $(2\frac{6}{7})^{2,5} \cdot 1,4^{2,5}$;

6) $\frac{81^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}}$ ?

Решение.

1) Для того чтобы найти значение выражения $5^{3,4} \cdot 5^{-1,8} \cdot 5^{-2,6}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Сложим показатели степеней: $3,4 + (-1,8) + (-2,6) = 3,4 - 1,8 - 2,6 = 1,6 - 2,6 = -1$.

Таким образом, выражение равно $5^{-1}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

2) Рассмотрим выражение $(7^{-0,7})^8 : 7^{-7,6}$.

Сначала используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(7^{-0,7})^8 = 7^{-0,7 \cdot 8} = 7^{-5,6}$.

Теперь выражение имеет вид $7^{-5,6} : 7^{-7,6}$.

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $7^{-5,6} : 7^{-7,6} = 7^{-5,6 - (-7,6)} = 7^{-5,6 + 7,6} = 7^2$.

Вычисляем значение: $7^2 = 49$.

Ответ: 49

3) Найдем значение выражения $(9^{\frac{3}{7}})^{4\frac{2}{3}}$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Для этого перемножим показатели степеней. Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$.

Перемножим показатели: $\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{3 \cdot 14}{7 \cdot 3} = \frac{14}{7} = 2$.

Исходное выражение равно $9^2$.

Вычисляем значение: $9^2 = 81$.

Ответ: 81

4) Рассмотрим выражение $(\frac{1}{16})^{-0,25}$.

Представим десятичный показатель степени в виде обыкновенной дроби: $-0,25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$.

Выражение принимает вид $(\frac{1}{16})^{-\frac{1}{4}}$.

Используем свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(\frac{1}{16})^{-\frac{1}{4}} = (\frac{16}{1})^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}}$.

Степень с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, поэтому $16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16}$.

Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: 2

5) Найдем значение выражения $(2\frac{6}{7})^{2,5} \cdot 1,4^{2,5}$.

Воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Сначала преобразуем основания степеней. Смешанное число $2\frac{6}{7}$ переведем в неправильную дробь: $2\frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{20}{7}$.

Десятичную дробь $1,4$ переведем в обыкновенную: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

Теперь перемножим основания: $\frac{20}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{20 \cdot 7}{7 \cdot 5} = \frac{20}{5} = 4$.

Таким образом, выражение равно $4^{2,5}$.

Представим показатель $2,5$ в виде дроби: $2,5 = \frac{5}{2}$.

Вычисляем $4^{\frac{5}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^5 = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32$.

Ответ: 32

6) Рассмотрим выражение $\frac{81^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}}$.

Воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым показателем $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

Применим это свойство к нашему выражению: $\frac{81^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}} = (\frac{81}{3})^{\frac{1}{3}}$.

Выполним деление в скобках: $\frac{81}{3} = 27$.

Выражение равно $27^{\frac{1}{3}}$.

Это то же самое, что и кубический корень из 27: $27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}$.

Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3