Номер 23.11, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.11, страница 226.

Условие.

23.11. Раскройте скобки:

1) $2a^{1/2}(a^{1/2} - 4) + 8a^{1/2};$

2) $(a^{0.5} - 3b^{0.3})(2a^{0.5} + b^{0.3});$

3) $(3b^{2/3} - c^2)(3b^{3/2} + c^2);$

4) $(a^{1/3} + b^{1/3})^2;$

5) $(a^{-1/2} - \frac{1}{4}a^{1/6})^2;$

6) $(b^{0.4} + 3)^2 - 6b^{0.4};$

7) $(c^{1/3} - 1)(c^{2/3} + c^{1/3} + 1);$

8) $(a^{1/3} + a^{1/2})(a^{2/3} - a^{5/6} + a);$

9) $(a^{1/6} + b^{1/6})(a^{1/6} - b^{1/6})(a^{1/3} - b^{1/3});$

10) $(x^{2/9} - 1)(x^{4/9} + x^{2/9} + 1)(x^{2/3} + 1).$

Решение.

1) Раскроем скобки, используя распределительный закон, и приведем подобные слагаемые. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 4) + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} - 8a^{\frac{1}{2}} + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a^1 - 8a^{\frac{1}{2}} + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a$.
Слагаемые $-8a^{\frac{1}{2}}$ и $8a^{\frac{1}{2}}$ взаимно уничтожаются.
Ответ: $2a$

2) Перемножим два двучлена, используя правило "каждый на каждый" (FOIL).
$(a^{0,5} - 3b^{0,3})(2a^{0,5} + b^{0,3}) = a^{0,5} \cdot 2a^{0,5} + a^{0,5} \cdot b^{0,3} - 3b^{0,3} \cdot 2a^{0,5} - 3b^{0,3} \cdot b^{0,3}$
$= 2a^{0,5+0,5} + a^{0,5}b^{0,3} - 6a^{0,5}b^{0,3} - 3b^{0,3+0,3}$
Приведем подобные слагаемые: $a^{0,5}b^{0,3} - 6a^{0,5}b^{0,3} = -5a^{0,5}b^{0,3}$.
$= 2a - 5a^{0,5}b^{0,3} - 3b^{0,6}$.
Ответ: $2a - 5a^{0,5}b^{0,3} - 3b^{0,6}$

3) Применим формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
В данном случае $x = 3b^{\frac{2}{3}}$ и $y = c^{\frac{3}{2}}$.
$(3b^{\frac{2}{3}} - c^{\frac{3}{2}})(3b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{2}}) = (3b^{\frac{2}{3}})^2 - (c^{\frac{3}{2}})^2 = 3^2 \cdot (b^{\frac{2}{3}})^2 - (c^{\frac{3}{2}})^2$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{mn}$.
$= 9b^{\frac{2}{3} \cdot 2} - c^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 9b^{\frac{4}{3}} - c^3$.
Ответ: $9b^{\frac{4}{3}} - c^3$

4) Применим формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном случае $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$.
$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{1}{3} \cdot 2} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3} \cdot 2} = a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

5) Применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае $x = a^{-\frac{1}{2}}$ и $y = \frac{1}{4}a^{\frac{1}{6}}$.
$(a^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{4}a^{\frac{1}{6}})^2 = (a^{-\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot a^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{4}a^{\frac{1}{6}} + (\frac{1}{4}a^{\frac{1}{6}})^2$
$= a^{-\frac{1}{2} \cdot 2} - \frac{2}{4}a^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}} + \frac{1}{16}a^{\frac{1}{6} \cdot 2} = a^{-1} - \frac{1}{2}a^{-\frac{3}{6}+\frac{1}{6}} + \frac{1}{16}a^{\frac{2}{6}} = a^{-1} - \frac{1}{2}a^{-\frac{2}{6}} + \frac{1}{16}a^{\frac{1}{3}} = a^{-1} - \frac{1}{2}a^{-\frac{1}{3}} + \frac{1}{16}a^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $a^{-1} - \frac{1}{2}a^{-\frac{1}{3}} + \frac{1}{16}a^{\frac{1}{3}}$

6) Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы, а затем приведем подобные слагаемые.
$(b^{0,4} + 3)^2 - 6b^{0,4} = ((b^{0,4})^2 + 2 \cdot b^{0,4} \cdot 3 + 3^2) - 6b^{0,4}$
$= (b^{0,8} + 6b^{0,4} + 9) - 6b^{0,4} = b^{0,8} + 6b^{0,4} - 6b^{0,4} + 9 = b^{0,8} + 9$.
Ответ: $b^{0,8} + 9$

7) Применим формулу разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$.
Пусть $x = c^{\frac{1}{3}}$ и $y=1$. Тогда второй множитель равен $x^2+xy+y^2 = (c^{\frac{1}{3}})^2 + c^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^2 = c^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{1}{3}} + 1$, что совпадает с выражением в задаче.
$(c^{\frac{1}{3}} - 1)(c^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{1}{3}} + 1) = (c^{\frac{1}{3}})^3 - 1^3 = c^1 - 1 = c - 1$.
Ответ: $c - 1$

8) Раскроем скобки путем перемножения многочленов и приведем подобные слагаемые.
$(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a) = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{5}{6}} + a^{\frac{1}{3}} \cdot a + a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{5}{6}} + a^{\frac{1}{2}} \cdot a$
$= a^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{6}+\frac{5}{6}} + a^{\frac{1}{3}+1} + a^{\frac{3}{6}+\frac{4}{6}} - a^{\frac{3}{6}+\frac{5}{6}} + a^{\frac{1}{2}+1}$
$= a^1 - a^{\frac{7}{6}} + a^{\frac{4}{3}} + a^{\frac{7}{6}} - a^{\frac{8}{6}} + a^{\frac{3}{2}}$
$= a - a^{\frac{7}{6}} + a^{\frac{4}{3}} + a^{\frac{7}{6}} - a^{\frac{4}{3}} + a^{\frac{3}{2}}$.
Сокращаем подобные члены: $-a^{\frac{7}{6}}$ и $+a^{\frac{7}{6}}$, а также $a^{\frac{4}{3}}$ и $-a^{\frac{4}{3}}$.
$= a + a^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $a + a^{\frac{3}{2}}$

9) Последовательно применим формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Сначала перемножим первые два множителя:
$(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}) = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{2}{6}} - b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.
Теперь умножим результат на третий множитель:
$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$

10) Здесь используется комбинация формул разности кубов и разности квадратов.
Рассмотрим произведение первых двух множителей. Это формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, где $a = x^{\frac{2}{9}}$ и $b=1$.
$(x^{\frac{2}{9}} - 1)(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1) = (x^{\frac{2}{9}})^3 - 1^3 = x^{\frac{6}{9}} - 1 = x^{\frac{2}{3}} - 1$.
Теперь умножим результат на последний множитель, используя формулу разности квадратов:
$(x^{\frac{2}{3}} - 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1) = (x^{\frac{2}{3}})^2 - 1^2 = x^{\frac{4}{3}} - 1$.
Ответ: $x^{\frac{4}{3}} - 1$