Номер 23.4, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.4, страница 226.

Условие.

23.4. Замените корень степенью с дробным показателем:

1) $\sqrt[7]{a^3}$;

2) $\sqrt[14]{m^{-9}}$;

3) $\sqrt[6]{5a^5}$;

4) $\sqrt[4]{x+y}$;

5) $\sqrt[13]{0,3^8}$.

Решение.

Для замены корня степенью с дробным показателем используется общее свойство: $\sqrt[n]{b^m} = b^{\frac{m}{n}}$, где $n$ — это показатель корня, а $m$ — это показатель степени подкоренного выражения.

1)

В выражении $\sqrt[7]{a^3}$ показатель корня $n=7$, а показатель степени подкоренного выражения $m=3$. Применяя формулу, получаем:
$\sqrt[7]{a^3} = a^{\frac{3}{7}}$
Ответ: $a^{\frac{3}{7}}$

2)

В выражении $\sqrt[14]{m^{-9}}$ показатель корня $n=14$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-9$. Подставляем эти значения в формулу:
$\sqrt[14]{m^{-9}} = m^{\frac{-9}{14}} = m^{-\frac{9}{14}}$
Ответ: $m^{-\frac{9}{14}}$

3)

В выражении $\sqrt[6]{5a^5}$ всё подкоренное выражение $5a^5$ можно рассматривать как основание в первой степени, то есть $\sqrt[6]{(5a^5)^1}$. Здесь показатель корня $n=6$, а показатель степени подкоренного выражения $m=1$. Таким образом:
$\sqrt[6]{5a^5} = (5a^5)^{\frac{1}{6}}$
Ответ: $(5a^5)^{\frac{1}{6}}$

4)

В выражении $\sqrt[4]{x+y}$ основанием степени является вся сумма $(x+y)$. Показатель степени этого выражения по умолчанию равен 1, то есть $\sqrt[4]{(x+y)^1}$. Показатель корня $n=4$, показатель степени $m=1$. Получаем:
$\sqrt[4]{x+y} = (x+y)^{\frac{1}{4}}$
Важно сохранить скобки, чтобы показать, что дробный показатель относится ко всей сумме.
Ответ: $(x+y)^{\frac{1}{4}}$

5)

В выражении $\sqrt[13]{0,3^8}$ показатель корня $n=13$, а показатель степени подкоренного выражения $m=8$. Применяя формулу, находим:
$\sqrt[13]{0,3^8} = 0,3^{\frac{8}{13}}$
Ответ: $0,3^{\frac{8}{13}}$