Номер 22.50, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.50, страница 220.

Условие.

22.50. Докажите равенство

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{14}}}}}} = \sqrt[64]{6 + \sqrt{35}} + \sqrt[64]{6 - \sqrt{35}}$

Решение.

Для доказательства равенства преобразуем его правую часть. Обозначим правую часть равенства через $X$:

$X = \sqrt[64]{6+\sqrt{35}} + \sqrt[64]{6-\sqrt{35}}$

Пусть $a = \sqrt[64]{6+\sqrt{35}}$ и $b = \sqrt[64]{6-\sqrt{35}}$. Тогда $X = a+b$.

Найдем произведение $ab$:

$ab = \sqrt[64]{6+\sqrt{35}} \cdot \sqrt[64]{6-\sqrt{35}} = \sqrt[64]{(6+\sqrt{35})(6-\sqrt{35})} = \sqrt[64]{6^2 - (\sqrt{35})^2} = \sqrt[64]{36-35} = \sqrt[64]{1} = 1$.

Рассмотрим последовательность $X_k = a^{2^k} + b^{2^k}$ для $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

При $k=0$ мы имеем $X_0 = a^{2^0} + b^{2^0} = a+b = X$, что является правой частью исходного равенства.

Найдем связь между членами последовательности. Возведем $X_{k-1}$ в квадрат:

$X_{k-1}^2 = (a^{2^{k-1}} + b^{2^{k-1}})^2 = (a^{2^{k-1}})^2 + (b^{2^{k-1}})^2 + 2 \cdot a^{2^{k-1}} \cdot b^{2^{k-1}}$

$X_{k-1}^2 = a^{2^k} + b^{2^k} + 2(ab)^{2^{k-1}}$

Так как $ab=1$, то $X_{k-1}^2 = X_k + 2(1)^{2^{k-1}} = X_k+2$.

Поскольку $a$ и $b$ — положительные действительные числа, все $X_k$ также положительны. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень и получить рекуррентное соотношение:

$X_{k-1} = \sqrt{X_k+2}$.

Теперь вычислим значение $X_6$:

$X_6 = a^{2^6} + b^{2^6} = a^{64} + b^{64} = (\sqrt[64]{6+\sqrt{35}})^{64} + (\sqrt[64]{6-\sqrt{35}})^{64}$

$X_6 = (6+\sqrt{35}) + (6-\sqrt{35}) = 12$.

Используя рекуррентное соотношение, последовательно найдем значения $X_5, X_4, ..., X_0$:

$X_5 = \sqrt{X_6+2} = \sqrt{12+2} = \sqrt{14}$.

$X_4 = \sqrt{X_5+2} = \sqrt{2+\sqrt{14}}$.

$X_3 = \sqrt{X_4+2} = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}$.

$X_2 = \sqrt{X_3+2} = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}$.

$X_1 = \sqrt{X_2+2} = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}}$.

$X_0 = \sqrt{X_1+2} = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}}}$.

Полученное выражение для $X_0$ в точности совпадает с левой частью исходного равенства. Так как $X_0$ равно правой части, мы доказали, что левая и правая части равны.

Ответ: Равенство доказано.