Номер 22.44, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.44, страница 220.

Условие.

22.44. Упростите выражение $(\sqrt[64]{a} + 1)(\sqrt[32]{a} + 1) \dots (\sqrt{a} + 1).$

Решение.

Обозначим данное выражение через $P$. Полное выражение выглядит следующим образом:

$P = (\sqrt[64]{a} + 1)(\sqrt[32]{a} + 1)(\sqrt[16]{a} + 1)(\sqrt[8]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} + 1)$

Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $a \ge 0$.

Рассмотрим два случая для значения $a$.

Случай 1: $a = 1$.

Если $a = 1$, то корень любой степени из $a$ также равен 1. Подставим это значение в выражение:

$P = (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64$.

Случай 2: $a \ge 0$ и $a \neq 1$.

При $a \neq 1$, выражение $\sqrt[64]{a} - 1$ не равно нулю. Мы можем умножить и разделить исходное выражение на $(\sqrt[64]{a} - 1)$:

$P = \frac{(\sqrt[64]{a} - 1)(\sqrt[64]{a} + 1)(\sqrt[32]{a} + 1)(\sqrt[16]{a} + 1)(\sqrt[8]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt[64]{a} - 1}$

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ для последовательного упрощения числителя.

Начнем с первых двух множителей в числителе:

$(\sqrt[64]{a} - 1)(\sqrt[64]{a} + 1) = (\sqrt[64]{a})^2 - 1^2 = \sqrt[32]{a} - 1$.

Теперь числитель можно переписать как: $(\sqrt[32]{a} - 1)(\sqrt[32]{a} + 1)(\sqrt[16]{a} + 1) \cdots (\sqrt{a} + 1)$.

Продолжая применять формулу разности квадратов, получаем:

$(\sqrt[32]{a} - 1)(\sqrt[32]{a} + 1) = (\sqrt[32]{a})^2 - 1^2 = \sqrt[16]{a} - 1$.

$(\sqrt[16]{a} - 1)(\sqrt[16]{a} + 1) = (\sqrt[16]{a})^2 - 1^2 = \sqrt[8]{a} - 1$.

$(\sqrt[8]{a} - 1)(\sqrt[8]{a} + 1) = (\sqrt[8]{a})^2 - 1^2 = \sqrt[4]{a} - 1$.

$(\sqrt[4]{a} - 1)(\sqrt[4]{a} + 1) = (\sqrt[4]{a})^2 - 1^2 = \sqrt{a} - 1$.

И на последнем шаге:

$(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1) = (\sqrt{a})^2 - 1^2 = a - 1$.

Таким образом, весь числитель упрощается до выражения $a - 1$.

Подставляя это обратно в выражение для $P$, получаем:

$P = \frac{a - 1}{\sqrt[64]{a} - 1}$.

Объединив результаты для обоих случаев, мы можем записать итоговый ответ.

Ответ: $ \begin{cases} 64, & \text{если } a=1 \\ \frac{a - 1}{\sqrt[64]{a} - 1}, & \text{если } a \ge 0, a \neq 1 \end{cases} $.