Номер 22.48, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.48, страница 220.

Условие.

22.48. Докажите, что является иррациональным число:

1) $\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3}$;

2) $\sqrt[3]{2} + \sqrt{3}$.

Решение.

1) $\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3}$

Докажем методом от противного. Предположим, что число $x = \sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q \neq 0$.

Возведем обе части равенства $x = \sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3}$ в куб, используя формулу $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$:

$x^3 = (\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3})^3$

$x^3 = (\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 - 3 \cdot \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot (\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3})$

$x^3 = 7 - 3 - 3\sqrt[3]{21}(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3})$

Поскольку $x = \sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3}$, мы можем подставить $x$ в правую часть уравнения:

$x^3 = 4 - 3x\sqrt[3]{21}$

Теперь выразим $\sqrt[3]{21}$ из этого уравнения. Заметим, что $x = \sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3} \neq 0$, так как $\sqrt[3]{7} \neq \sqrt[3]{3}$.

$3x\sqrt[3]{21} = 4 - x^3$

$\sqrt[3]{21} = \frac{4 - x^3}{3x}$

В левой части этого равенства стоит иррациональное число $\sqrt[3]{21}$, так как 21 не является точным кубом целого числа ($2^3 = 8, 3^3 = 27$). В правой части стоит рациональное число, так как по нашему предположению $x$ — рациональное число. Все арифметические операции (возведение в степень, вычитание, умножение, деление на ненулевое число) над рациональными числами приводят к рациональному результату.

Мы получили противоречие: иррациональное число равно рациональному. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Таким образом, число $\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3}$ является иррациональным.

Ответ: Доказано, что число является иррациональным.

2) $\sqrt[3]{2} + \sqrt{3}$

Докажем методом от противного. Предположим, что число $x = \sqrt[3]{2} + \sqrt{3}$ является рациональным.

Перепишем равенство, чтобы изолировать один из корней:

$x - \sqrt{3} = \sqrt[3]{2}$

Возведем обе части этого равенства в куб:

$(x - \sqrt{3})^3 = (\sqrt[3]{2})^3$

Раскроем левую часть по формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$x^3 - 3x^2\sqrt{3} + 3x(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^3 = 2$

$x^3 - 3x^2\sqrt{3} + 9x - 3\sqrt{3} = 2$

Сгруппируем члены, содержащие $\sqrt{3}$, и члены без него:

$(x^3 + 9x - 2) - (3x^2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) = 0$

$(x^3 + 9x - 2) = (3x^2 + 3)\sqrt{3}$

Теперь выразим $\sqrt{3}$. Так как $x$ — действительное число, $x^2 \geq 0$, следовательно, $3x^2 + 3 \geq 3$, то есть знаменатель не равен нулю.

$\sqrt{3} = \frac{x^3 + 9x - 2}{3x^2 + 3}$

В левой части равенства стоит иррациональное число $\sqrt{3}$, так как 3 не является точным квадратом целого числа. В правой части стоит рациональное число, так как по нашему предположению $x$ — рациональное число, а арифметические операции над рациональными числами дают в результате рациональное число.

Мы пришли к противоречию: иррациональное число не может быть равно рациональному. Значит, наше исходное предположение было ложным. Следовательно, число $\sqrt[3]{2} + \sqrt{3}$ является иррациональным.

Ответ: Доказано, что число является иррациональным.