Номер 22.47, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.47, страница 220.

Условие.

22.47. Докажите, что является иррациональным число:

1) $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$;

2) $\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}$.

Решение.

1) Докажем, что число $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ является иррациональным, используя метод от противного.

Предположим, что число $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ является рациональным. Обозначим его через $x$. Тогда $x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$, где $x \in \mathbb{Q}$.

Возведем обе части равенства в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:

$x^3 = (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})^3$

$x^3 = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{5})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$

$x^3 = 2 + 5 + 3\sqrt[3]{10}(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$

Поскольку мы обозначили $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ через $x$, мы можем подставить $x$ в правую часть уравнения:

$x^3 = 7 + 3x\sqrt[3]{10}$

Теперь выразим $\sqrt[3]{10}$ из этого уравнения. Заметим, что $x \ne 0$, так как $\sqrt[3]{2} > 0$ и $\sqrt[3]{5} > 0$.

$x^3 - 7 = 3x\sqrt[3]{10}$

$\sqrt[3]{10} = \frac{x^3 - 7}{3x}$

В левой части этого равенства стоит число $\sqrt[3]{10}$. Докажем, что оно иррационально. Если предположить, что $\sqrt[3]{10} = \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — взаимно простые целые числа, то $10 = \frac{m^3}{n^3}$, или $m^3 = 10n^3$. Отсюда следует, что $m^3$ делится на 10, а значит и на простые множители 2 и 5. Следовательно, само число $m$ должно делиться на 2 и 5, то есть $m$ делится на 10. Пусть $m = 10k$. Тогда $(10k)^3 = 10n^3$, что дает $1000k^3 = 10n^3$, или $n^3 = 100k^3$. Отсюда следует, что $n^3$ делится на 10, а значит и $n$ делится на 10. Таким образом, и $m$, и $n$ делятся на 10, что противоречит их взаимной простоте. Значит, $\sqrt[3]{10}$ — иррациональное число.

В правой части равенства $\sqrt[3]{10} = \frac{x^3 - 7}{3x}$ стоит выражение, которое является результатом арифметических операций над рациональным числом $x$. Результат таких операций над рациональными числами всегда является рациональным числом. Таким образом, правая часть — рациональное число.

Мы пришли к противоречию: иррациональное число ($\sqrt[3]{10}$) равно рациональному числу ($\frac{x^3 - 7}{3x}$). Это противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения, что $x$ — рациональное число.

Следовательно, предположение неверно, и число $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ является иррациональным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что число $\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}$ является иррациональным. Воспользуемся методом от противного.

Предположим, что число $\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}$ является рациональным. Обозначим его через $x$. Тогда $x = \sqrt[3]{3} + \sqrt{2}$, где $x \in \mathbb{Q}$.

Выразим один из корней через $x$ и другой корень. Уединим кубический корень:

$\sqrt[3]{3} = x - \sqrt{2}$

Возведем обе части равенства в куб, чтобы избавиться от кубического корня. Используем формулу $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(\sqrt[3]{3})^3 = (x - \sqrt{2})^3$

$3 = x^3 - 3x^2\sqrt{2} + 3x(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^3$

$3 = x^3 - 3x^2\sqrt{2} + 6x - 2\sqrt{2}$

Теперь сгруппируем члены, содержащие $\sqrt{2}$, и члены без него:

$3 - x^3 - 6x = -3x^2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$

$x^3 + 6x - 3 = (3x^2 + 2)\sqrt{2}$

Выразим $\sqrt{2}$. Заметим, что $x$ — вещественное число, поэтому $x^2 \ge 0$, и $3x^2 + 2 \ge 2 > 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части на $3x^2 + 2$.

$\sqrt{2} = \frac{x^3 + 6x - 3}{3x^2 + 2}$

Рассмотрим полученное равенство. В левой части стоит число $\sqrt{2}$, которое, как известно, является иррациональным.

В правой части стоит выражение $\frac{x^3 + 6x - 3}{3x^2 + 2}$. Так как мы предположили, что $x$ — рациональное число, то результат арифметических операций над ним (возведение в степень, умножение, сложение, вычитание и деление) также будет рациональным числом. Числитель $x^3 + 6x - 3$ — рациональное число, и знаменатель $3x^2 + 2$ — рациональное и не равное нулю число. Следовательно, вся дробь является рациональным числом.

Таким образом, мы получили противоречие: иррациональное число ($\sqrt{2}$) равно рациональному числу ($\frac{x^3 + 6x - 3}{3x^2 + 2}$).

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что число $\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}$ рационально, было неверным.

Следовательно, число $\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}$ является иррациональным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.