Номер 22.40, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.40, страница 219.

Условие.

22.40. Докажите тождество:

1) $\left( \frac{1}{\sqrt[6]{x} + 1} - \frac{\sqrt[6]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}} \right) : \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[6]{x} + 1} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x};$

2) $\frac{\frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2} - \sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b};$

3) $\frac{\sqrt[3]{m + 4\sqrt{m - 4}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m - 4} + 2}}{\sqrt[3]{m - 4\sqrt{m - 4}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m - 4} - 2}} \cdot \frac{m - 4\sqrt{m - 4}}{m - 8} = 1.$

Решение.

1)

Преобразуем левую часть тождества. Для удобства введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$ и $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[6]{x})^4 = y^4$.

Сначала упростим выражение в скобках:

$\frac{1}{\sqrt[6]{x} + 1} - \frac{\sqrt[6]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{1}{y + 1} - \frac{y - 1}{y^2} = \frac{y^2 \cdot 1 - (y - 1)(y + 1)}{y^2(y + 1)} = \frac{y^2 - (y^2 - 1)}{y^2(y + 1)} = \frac{y^2 - y^2 + 1}{y^2(y + 1)} = \frac{1}{y^2(y + 1)}$

Теперь преобразуем делитель:

$\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[6]{x} + 1} = \frac{y^4}{y^2 + 2y + 1} = \frac{y^4}{(y + 1)^2}$

Выполним деление:

$\frac{1}{y^2(y + 1)} : \frac{y^4}{(y + 1)^2} = \frac{1}{y^2(y + 1)} \cdot \frac{(y + 1)^2}{y^4} = \frac{y+1}{y^2 \cdot y^4} = \frac{y+1}{y^6}$

Выполним обратную замену $y = \sqrt[6]{x}$:

$\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{(\sqrt[6]{x})^6} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x}$

Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Судя по расположению элементов в задании, данное выражение представляет собой сложную дробь, где сумма двух дробей в числителе делится на выражение $\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}$. Преобразуем левую часть тождества.

Введем замены: пусть $x = \sqrt[3]{a}$ и $y = \sqrt[3]{b}$. Тогда $a = x^3$, $b = y^3$, $\sqrt[3]{a^2} = x^2$, $\sqrt[3]{b^2} = y^2$, $\sqrt[6]{a} = \sqrt{x}$, $\sqrt[6]{b} = \sqrt{y}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2} - \sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} = \frac{\frac{x^3+y^3}{x^2 - y^2} + \frac{xy^2 - x^2y}{x^2 - 2xy + y^2}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Упростим числитель этой большой дроби. Сначала преобразуем каждое слагаемое в числителе.

Первое слагаемое: $\frac{x^3+y^3}{x^2 - y^2} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2-xy+y^2}{x-y}$

Второе слагаемое: $\frac{xy^2 - x^2y}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{-xy(x-y)}{(x-y)^2} = \frac{-xy}{x-y}$

Сложим полученные выражения:

$\frac{x^2-xy+y^2}{x-y} + \frac{-xy}{x-y} = \frac{x^2-xy+y^2-xy}{x-y} = \frac{x^2-2xy+y^2}{x-y} = \frac{(x-y)^2}{x-y} = x-y$

Теперь разделим полученный результат на знаменатель исходной сложной дроби:

$\frac{x-y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \sqrt{x}+\sqrt{y}$

Сделаем обратную замену:

$\sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{\sqrt[3]{a}} + \sqrt{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$

Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Рассмотрим выражения под корнями.

Заметим, что подкоренные выражения в первом множителе являются полными квадратами:

$m + 4\sqrt{m-4} = m-4 + 4\sqrt{m-4} + 4 = (\sqrt{m-4})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{m-4} + 2^2 = (\sqrt{m-4} + 2)^2$

$m - 4\sqrt{m-4} = m-4 - 4\sqrt{m-4} + 4 = (\sqrt{m-4})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{m-4} + 2^2 = (\sqrt{m-4} - 2)^2$

Упростим первый дробный множитель в левой части:

$\frac{\sqrt[3]{m + 4\sqrt{m-4}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m-4}+2}}{\sqrt[3]{m - 4\sqrt{m-4}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m-4}-2}} = \frac{\sqrt[3]{(\sqrt{m-4} + 2)^2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m-4}+2}}{\sqrt[3]{(\sqrt{m-4} - 2)^2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m-4}-2}} = \frac{\sqrt[3]{(\sqrt{m-4} + 2)^3}}{\sqrt[3]{(\sqrt{m-4} - 2)^3}} = \frac{\sqrt{m-4} + 2}{\sqrt{m-4} - 2}$

Теперь упростим второй дробный множитель $\frac{m-4\sqrt{m-4}}{m-8}$.

Его числитель, как мы уже показали, равен $(\sqrt{m-4} - 2)^2$.

Знаменатель можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $m-8 = (m-4) - 4 = (\sqrt{m-4})^2 - 2^2 = (\sqrt{m-4}-2)(\sqrt{m-4}+2)$.

Таким образом, второй множитель равен:

$\frac{(\sqrt{m-4} - 2)^2}{(\sqrt{m-4}-2)(\sqrt{m-4}+2)} = \frac{\sqrt{m-4} - 2}{\sqrt{m-4} + 2}$

Теперь перемножим упрощенные дроби:

$\frac{\sqrt{m-4} + 2}{\sqrt{m-4} - 2} \cdot \frac{\sqrt{m-4} - 2}{\sqrt{m-4} + 2} = 1$

Левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.