Номер 22.46, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.46, страница 220.

Условие.

22.46. Приведите пример такого многочлена с целыми коэффициентами, что число $\sqrt[3]{2} + 3$ является его корнем.

Решение.

Пусть $x$ – корень искомого многочлена, то есть $x = \sqrt[3]{2} + 3$.

Наша задача – получить уравнение, связывающее $x$, но не содержащее корней, и при этом имеющее целые коэффициенты. Для этого уединим радикал в одной части уравнения.

$x - 3 = \sqrt[3]{2}$

Теперь, чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(x - 3)^3 = (\sqrt[3]{2})^3$

Воспользуемся формулой куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для левой части уравнения:

$x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = 2$

$x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить многочлен, равный нулю:

$x^3 - 9x^2 + 27x - 27 - 2 = 0$

$x^3 - 9x^2 + 27x - 29 = 0$

Таким образом, мы получили многочлен $P(x) = x^3 - 9x^2 + 27x - 29$. Его коэффициенты 1, -9, 27, -29 являются целыми числами, а число $\sqrt[3]{2} + 3$ по построению является его корнем.

Ответ: $x^3 - 9x^2 + 27x - 29$.