Номер 22.43, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.43, страница 220.

Условие.

22.43. Упростите выражение $(\sqrt[32]{2}+1)(\sqrt[16]{2}+1)(\sqrt[8]{2}+1)(\sqrt[4]{2}+1)(\sqrt{2}+1)$

Решение.

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом умножения на недостающий множитель, чтобы последовательно применить формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Пусть исходное выражение равно $A$:

$A = (\sqrt[32]{2} + 1)(\sqrt[16]{2} + 1)(\sqrt[8]{2} + 1)(\sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)$

Домножим и разделим выражение $A$ на $(\sqrt[32]{2} - 1)$. Это действие является тождественным преобразованием, так как $\sqrt[32]{2} - 1 \neq 0$.

$A = \frac{(\sqrt[32]{2} - 1)(\sqrt[32]{2} + 1)(\sqrt[16]{2} + 1)(\sqrt[8]{2} + 1)(\sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt[32]{2} - 1}$

Теперь начнем последовательно упрощать числитель, применяя формулу разности квадратов.

Произведение первых двух множителей в числителе:

$(\sqrt[32]{2} - 1)(\sqrt[32]{2} + 1) = (\sqrt[32]{2})^2 - 1^2 = \sqrt[16]{2} - 1$

Теперь числитель имеет вид:

$(\sqrt[16]{2} - 1)(\sqrt[16]{2} + 1)(\sqrt[8]{2} + 1)(\sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)$

Снова применяем формулу разности квадратов для первых двух множителей:

$(\sqrt[16]{2} - 1)(\sqrt[16]{2} + 1) = (\sqrt[16]{2})^2 - 1^2 = \sqrt[8]{2} - 1$

Продолжаем эту процедуру для оставшихся множителей:

$(\sqrt[8]{2} - 1)(\sqrt[8]{2} + 1) = (\sqrt[8]{2})^2 - 1^2 = \sqrt[4]{2} - 1$

$(\sqrt[4]{2} - 1)(\sqrt[4]{2} + 1) = (\sqrt[4]{2})^2 - 1^2 = \sqrt{2} - 1$

$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

Таким образом, весь числитель исходной дроби упрощается до 1.

Подставим это значение обратно в выражение для $A$:

$A = \frac{1}{\sqrt[32]{2} - 1}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[32]{2} - 1}$