Номер 22.36, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.36, страница 219.

Условие.

22.36. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$;

2) $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$.

Решение.

1) $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}}\cdot\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$

Для решения этой задачи мы упростим каждый множитель.

Рассмотрим первый множитель $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}}$. Представим подкоренное выражение $7-4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=7$ и $2ab=4\sqrt{3}$ (или $ab=2\sqrt{3}$).

Легко заметить, что если взять $a=2$ и $b=\sqrt{3}$, то оба условия выполняются:

$a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$.

$ab = 2\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.

Таким образом, $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.

Теперь мы можем переписать первый множитель:

$\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} = \sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2}$.

Используя свойство корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a \ge 0$, и учитывая, что $2-\sqrt{3} > 0$ (так как $4>3$), получаем:

$\sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$.

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$.

По свойству произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{x}\cdot\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$, объединим множители под одним корнем:

$\sqrt[3]{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$.

Выражение в скобках является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\sqrt[3]{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{4-3} = \sqrt[3]{1} = 1$.

Ответ: $1$.

2) $\sqrt{2\sqrt{6}-1}\cdot\sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$

Упростим второй множитель $\sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$. Для этого представим подкоренное выражение $25+4\sqrt{6}$ в виде полного квадрата $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=25$ и $2ab=4\sqrt{6}$ (или $ab=2\sqrt{6}$).

Можно подобрать значения: пусть $a=2\sqrt{6}$ и $b=1$. Проверим:

$a^2+b^2 = (2\sqrt{6})^2 + 1^2 = 4\cdot6+1 = 24+1=25$.

$ab = 2\sqrt{6} \cdot 1 = 2\sqrt{6}$.

Оба условия выполняются. Следовательно, $25+4\sqrt{6} = (2\sqrt{6}+1)^2$.

Подставим это во второй множитель:

$\sqrt[4]{25+4\sqrt{6}} = \sqrt[4]{(2\sqrt{6}+1)^2}$.

Используя свойство корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ (где $a \ge 0$), получаем:

$\sqrt[4]{(2\sqrt{6}+1)^2} = \sqrt{2\sqrt{6}+1}$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\sqrt{2\sqrt{6}-1}\cdot\sqrt{2\sqrt{6}+1}$.

По свойству произведения корней $\sqrt{x}\cdot\sqrt{y} = \sqrt{xy}$, объединим множители под одним корнем:

$\sqrt{(2\sqrt{6}-1)(2\sqrt{6}+1)}$.

Выражение в скобках является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\sqrt{(2\sqrt{6})^2 - 1^2} = \sqrt{4\cdot6 - 1} = \sqrt{24-1} = \sqrt{23}$.

Ответ: $\sqrt{23}$.