Номер 22.33, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.33, страница 218.

Условие.

22.33. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{(\sqrt{6}-2)^3}$;

2) $\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^2}$;

3) $\sqrt[9]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^3}$;

4) $\sqrt[6]{(\sqrt{3}-2)^2}$.

Решение.

Для упрощения данных выражений будем использовать свойство корня: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ для $a \geq 0$, и $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{|a|^m}$, если $k$ — четное число. Если же показатель корня $n$ — нечетное число, то $\sqrt[n]{a}$ определен для любого $a$, и свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ выполняется для любых $a$.

1) $\sqrt[6]{(\sqrt{6}-2)^3}$

Сначала определим знак подкоренного выражения в скобках. Сравним $\sqrt{6}$ и $2$. Так как $2 = \sqrt{4}$, а $6 > 4$, то $\sqrt{6} > \sqrt{4}$, следовательно $\sqrt{6} > 2$. Значит, выражение $\sqrt{6}-2$ положительно.

Теперь мы можем применить свойство корня, сократив показатель корня и степень подкоренного выражения на их общий делитель 3:

$\sqrt[6]{(\sqrt{6}-2)^3} = \sqrt[6/3]{(\sqrt{6}-2)^{3/3}} = \sqrt[2]{\sqrt{6}-2} = \sqrt{\sqrt{6}-2}$

Ответ: $\sqrt{\sqrt{6}-2}$

2) $\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^2}$

Показатель корня 4 и степень подкоренного выражения 2 — четные числа. При сокращении на общий делитель 2 нужно использовать модуль, так как исходный корень четной степени, и результат должен быть неотрицательным.

$\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^2} = \sqrt[4/2]{|1-\sqrt{2}|^{2/2}} = \sqrt{|1-\sqrt{2}|}$

Определим знак выражения в модуле. Сравним $1$ и $\sqrt{2}$. Так как $1 = \sqrt{1}$, а $1 < 2$, то $\sqrt{1} < \sqrt{2}$, следовательно $1 < \sqrt{2}$. Значит, выражение $1-\sqrt{2}$ отрицательно.

Раскроем модуль: $|1-\sqrt{2}| = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1$.

Тогда итоговое выражение: $\sqrt{\sqrt{2}-1}$.

Ответ: $\sqrt{\sqrt{2}-1}$

3) $\sqrt[9]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^3}$

Показатель корня 9 — нечетное число, поэтому знак подкоренного выражения сохраняется и модуль использовать не нужно.

Сократим показатель корня и степень на их общий делитель 3:

$\sqrt[9]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^3} = \sqrt[9/3]{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{3/3}} = \sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

Для справки, определим знак выражения в скобках. Сравним $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Так как $2 < 3$, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$, следовательно $\sqrt{2}-\sqrt{3} < 0$. Корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом.

Ответ: $\sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

4) $\sqrt[6]{(\sqrt{3}-2)^2}$

Показатель корня 6 и степень 2 — четные числа. Применяем свойство с использованием модуля.

$\sqrt[6]{(\sqrt{3}-2)^2} = \sqrt[6/2]{|\sqrt{3}-2|^{2/2}} = \sqrt[3]{|\sqrt{3}-2|}$

Определим знак выражения в модуле. Сравним $\sqrt{3}$ и $2$. Так как $2 = \sqrt{4}$, а $3 < 4$, то $\sqrt{3} < \sqrt{4}$, следовательно $\sqrt{3} < 2$. Значит, выражение $\sqrt{3}-2$ отрицательно.

Раскроем модуль: $|\sqrt{3}-2| = -(\sqrt{3}-2) = 2-\sqrt{3}$.

Тогда итоговое выражение: $\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$