Номер 22.28, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.28, страница 218.

Условие.

22.28. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{32a^6}$, если $a \le 0$;

2) $\sqrt[4]{-625a^5}$;

3) $\sqrt[6]{a^7b^7}$, если $a < 0, b < 0$;

4) $\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}$, если $a > 0$.

Решение.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{32a^6}$, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны показателю корня, то есть 4.
Разложим число 32 и степень $a^6$:
$32 = 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$.
$a^6 = a^4 \cdot a^2$.
Тогда выражение примет вид:
$\sqrt[4]{32a^6} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{(2^4 \cdot a^4) \cdot 2a^2} = \sqrt[4]{(2a)^4 \cdot 2a^2}$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$ и тождество $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$, получаем:
$\sqrt[4]{(2a)^4} \cdot \sqrt[4]{2a^2} = |2a| \cdot \sqrt[4]{2a^2} = 2|a|\sqrt[4]{2a^2}$.
По условию задачи $a \le 0$, следовательно, модуль $a$ раскрывается как $|a| = -a$.
Подставим это в наше выражение:
$2(-a)\sqrt[4]{2a^2} = -2a\sqrt[4]{2a^2}$.
Ответ: $-2a\sqrt[4]{2a^2}$.

2) Выражение $\sqrt[4]{-625a^5}$ является корнем четной степени, поэтому оно определено только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно:
$-625a^5 \ge 0$.
Так как $-625 < 0$, это неравенство выполняется при $a^5 \le 0$, что равносильно $a \le 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители, чтобы выделить степени, кратные 4:
$-625a^5 = 625 \cdot (-a^5) = 5^4 \cdot (-a)^4 \cdot (-a)$.
Теперь можно вынести множители из-под знака корня:
$\sqrt[4]{-625a^5} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (-a)^4 \cdot (-a)} = \sqrt[4]{(5(-a))^4} \cdot \sqrt[4]{-a}$.
Применяя тождество $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$:
$\sqrt[4]{(5(-a))^4} = |5(-a)| = |-5a|$.
Поскольку мы установили, что $a \le 0$, то $-5a \ge 0$. Следовательно, $|-5a| = -5a$.
Таким образом, результат: $-5a\sqrt[4]{-a}$.
Ответ: $-5a\sqrt[4]{-a}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{a^7b^7}$ при условиях $a < 0, b < 0$.
Подкоренное выражение можно записать как $a^7b^7 = (ab)^7$.
Поскольку по условию $a < 0$ и $b < 0$, их произведение $ab > 0$. Значит, $(ab)^7$ также будет положительным, и корень четной степени определен.
Разложим подкоренное выражение, чтобы выделить степень, кратную 6:
$(ab)^7 = (ab)^6 \cdot (ab)$.
Тогда $\sqrt[6]{a^7b^7} = \sqrt[6]{(ab)^6 \cdot ab}$.
Вынесем множитель из-под знака корня, используя свойство $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$:
$\sqrt[6]{(ab)^6} = |ab|$.
Так как $a < 0$ и $b < 0$, то $ab > 0$, и $|ab| = ab$.
В итоге получаем: $ab\sqrt[6]{ab}$.
Ответ: $ab\sqrt[6]{ab}$.

4) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}$ при условии $a > 0$.
Для того чтобы корень четной степени (6-й) был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^{20}b^{19} \ge 0$.
По условию $a > 0$, поэтому $a^{20} > 0$. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы $b^{19} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
Разложим степени переменных на множители так, чтобы их показатели были кратны 6:
$a^{20} = a^{18} \cdot a^2 = (a^3)^6 \cdot a^2$.
$b^{19} = b^{18} \cdot b = (b^3)^6 \cdot b$.
Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt[6]{a^{20}b^{19}} = \sqrt[6]{(a^3)^6 \cdot a^2 \cdot (b^3)^6 \cdot b} = \sqrt[6]{(a^3)^6(b^3)^6 \cdot a^2b}$.
Вынесем множители из-под корня:
$\sqrt[6]{(a^3)^6(b^3)^6} = \sqrt[6]{(a^3b^3)^6} = |a^3b^3|$.
Определим знак выражения в модуле. Так как $a > 0$, то $a^3 > 0$. Так как мы выяснили, что $b \ge 0$, то $b^3 \ge 0$.
Следовательно, произведение $a^3b^3 \ge 0$, и $|a^3b^3| = a^3b^3$.
Окончательный результат: $a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}$.
Ответ: $a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}$.