Номер 22.23, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.23, страница 217.

Условие.

22.23. При каких значениях $a$ и $b$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$;

2) $\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$;

3) $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}$;

4) $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}$?

Решение.

1) $\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$

Данное равенство содержит корни четной степени (корень 4-й степени). Арифметический корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому должны выполняться следующие условия:

Из левой части равенства $\sqrt[4]{ab}$ следует, что $ab \ge 0$.

Из правой части равенства $\sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$ следует, что должны выполняться два условия одновременно:

1. $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$.

2. $-b \ge 0$, что эквивалентно $b \le 0$.

Проверим, согласуются ли эти условия. Если $a \le 0$ и $b \le 0$, то их произведение $ab \ge 0$. Это удовлетворяет условию для левой части равенства. Таким образом, область определения данного равенства — это $a \le 0$ и $b \le 0$.

При этих условиях правая часть равенства преобразуется следующим образом: $\sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{(-a)(-b)} = \sqrt[4]{ab}$, что совпадает с левой частью. Следовательно, равенство выполняется при $a \le 0$ и $b \le 0$.

Ответ: $a \le 0$ и $b \le 0$.

2) $\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$

Аналогично первому пункту, все подкоренные выражения должны быть неотрицательными, так как степень корня четная.

Из левой части $\sqrt[4]{-ab}$ следует, что $-ab \ge 0$, то есть $ab \le 0$.

Из правой части $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$ следует, что:

1. $a \ge 0$.

2. $-b \ge 0$, то есть $b \le 0$.

Проверим согласованность условий. Если $a \ge 0$ и $b \le 0$, то их произведение $ab$ будет меньше либо равно нулю ($ab \le 0$). Это условие совпадает с условием для левой части. Значит, область определения равенства — это $a \ge 0$ и $b \le 0$.

При этих условиях правая часть равенства преобразуется: $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{a(-b)} = \sqrt[4]{-ab}$, что совпадает с левой частью. Следовательно, равенство выполняется при $a \ge 0$ и $b \le 0$.

Ответ: $a \ge 0$ и $b \le 0$.

3) $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}$

Данное равенство содержит корни нечетной степени (корень 5-й степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа. Равенство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$ для нечетного $n$ является тождеством и выполняется для всех значений $x$ и $y$, для которых выражения определены.

Поскольку корень 5-й степени определен для любых действительных чисел $a$ и $b$, данное равенство верно для любых действительных значений $a$ и $b$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.

4) $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}$

Степень корня нечетная, поэтому все выражения определены для любых действительных чисел $a$ и $b$.

Рассмотрим правую часть равенства. Используя свойство корня нечетной степени $\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$ (которое верно для любых $x, y$ при нечетном $n$), получим:

$\sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \sqrt[5]{(-a) \cdot (-b)} = \sqrt[5]{ab}$.

Таким образом, исходное равенство принимает вид $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{ab}$, что является тождеством.

Следовательно, равенство выполняется для любых действительных значений $a$ и $b$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.