Номер 22.19, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.19, страница 216.

Условие.

22.19. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$;

2) $\frac{\sqrt[6]{x} - 9}{\sqrt[12]{x} + 3}$;

3) $\frac{\sqrt{m} + \sqrt[4]{m}}{m - \sqrt[4]{m^3}}$;

4) $\frac{\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}$;

5) $\frac{a\sqrt[3]{b^2} - b\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}}$;

6) $\frac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{x - 64}$;

7) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}}$;

8) $\frac{2 - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}$;

9) $\frac{\sqrt[4]{a^3} - \sqrt[4]{a} + \sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}}$.

Решение.

1)

Представим числитель в виде разности квадратов. Заметим, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ к числителю:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$ в числителе и знаменателе.

Ответ: $\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$

2)

Представим числитель в виде разности квадратов. Заметим, что $\sqrt[6]{x} = (\sqrt[12]{x})^2$ и $9 = 3^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к числителю:

$\sqrt[6]{x} - 9 = (\sqrt[12]{x})^2 - 3^2 = (\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{(\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)}{\sqrt[12]{x} + 3}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[12]{x} + 3)$.

Ответ: $\sqrt[12]{x} - 3$

3)

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе общий множитель $\sqrt[4]{m}$:

$\sqrt{m} + \sqrt[4]{m} = (\sqrt[4]{m})^2 + \sqrt[4]{m} = \sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m} + 1)$

В знаменателе представим $m$ как $(\sqrt[4]{m})^4$ и $\sqrt[4]{m^3}$ как $(\sqrt[4]{m})^3$, после чего вынесем общий множитель $\sqrt[4]{m^3}$:

$m - \sqrt[4]{m^3} = (\sqrt[4]{m})^4 - (\sqrt[4]{m})^3 = (\sqrt[4]{m})^3(\sqrt[4]{m} - 1) = \sqrt[4]{m^3}(\sqrt[4]{m} - 1)$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m} + 1)}{\sqrt[4]{m^3}(\sqrt[4]{m} - 1)}$

Сократим дробь на $\sqrt[4]{m}$:

$\frac{\sqrt[4]{m} + 1}{\sqrt[4]{m^2}(\sqrt[4]{m} - 1)} = \frac{\sqrt[4]{m} + 1}{\sqrt{m}(\sqrt[4]{m} - 1)}$

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{m} + 1}{\sqrt{m}(\sqrt[4]{m} - 1)}$

4)

Сначала преобразуем числитель. Вынесем за скобки общий множитель $\sqrt[8]{ab}$:

$\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b} = \sqrt[8]{ab \cdot b} - \sqrt[8]{ab \cdot a} = \sqrt[8]{ab}\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{ab}\sqrt[8]{a} = \sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a})$

Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов:

$\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b} = (\sqrt[8]{a})^2 - (\sqrt[8]{b})^2 = (\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})$

Подставим выражения в дробь:

$\frac{\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a})}{(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})}$

Заметим, что $(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a}) = -(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})$, и подставим в дробь:

$\frac{-\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})}{(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})$.

Ответ: $\frac{-\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$

5)

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{a\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}} - \frac{b\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}}$

Используем свойства корней $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}$ и представим $a$ как $\sqrt[3]{a^3}$, а $b$ как $\sqrt[3]{b^3}$:

$\frac{\sqrt[3]{a^3}\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}} - \frac{\sqrt[3]{b^3}\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}} = \sqrt[3]{\frac{a^3b^2}{a^2b^2}} - \sqrt[3]{\frac{b^3a^2}{a^2b^2}}$

Сократим подкоренные выражения:

Ответ: $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$

6)

Знаменатель $x - 64$ можно представить как разность кубов. Пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = y^3$. Также $64 = 4^3$.

$x - 64 = (\sqrt[3]{x})^3 - 4^3$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x - 64 = (\sqrt[3]{x} - 4)((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4^2) = (\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)$

Теперь подставим это в знаменатель дроби:

$\frac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{(\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}$

7)

Это выражение похоже на формулу суммы кубов. Сделаем замену: пусть $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$.

Тогда числитель: $\sqrt{a} + \sqrt{b} = (\sqrt[6]{a})^3 + (\sqrt[6]{b})^3 = x^3 + y^3$.

Знаменатель: $\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{a})^2 - \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b} + (\sqrt[6]{b})^2 = x^2 - xy + y^2$.

Дробь принимает вид: $\frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2}$.

Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2 - xy + y^2}$

Сокращаем общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$ и получаем $x + y$.

Возвращаемся к исходным переменным:

Ответ: $\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$

8)

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{2}{\sqrt[3]{2}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}$

Упростим каждое слагаемое. Второе слагаемое равно 1. Для первого слагаемого используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^1}{2^{1/3}} - 1 = 2^{1 - 1/3} - 1 = 2^{2/3} - 1$

Запишем результат в виде корня:

Ответ: $\sqrt[3]{4} - 1$

9)

Сгруппируем слагаемые в числителе:

$(\sqrt[4]{a^3} - \sqrt[4]{a}) + (\sqrt{a} - 1)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a^2} - 1) + (\sqrt{a} - 1) = \sqrt[4]{a}(\sqrt{a} - 1) + 1(\sqrt{a} - 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt{a} - 1)$:

$(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)$

В знаменателе вынесем за скобки $\sqrt{a}$:

$a - \sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - 1)$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}$