Номер 22.18, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.18, страница 216.

Условие.

22.18. Упростите выражение:

1) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} - \sqrt[8]{n});$

2) $(\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}).$

Решение.

1) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} - \sqrt[8]{n})$

Для упрощения выражения будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Начнем с последних двух множителей:

$(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} - \sqrt[8]{n}) = (\sqrt[8]{m})^2 - (\sqrt[8]{n})^2 = m^{\frac{2}{8}} - n^{\frac{2}{8}} = m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}$.

Теперь выражение имеет вид:

$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})$

Снова применяем формулу разности квадратов к последним двум множителям:

$(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}) = (\sqrt[4]{m})^2 - (\sqrt[4]{n})^2 = m^{\frac{2}{4}} - n^{\frac{2}{4}} = m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m} - \sqrt{n}$.

Выражение принимает вид:

$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})$

И еще раз применяем ту же формулу:

$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n$.

Ответ: $m-n$

2) $(\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})$

Заметим, что это выражение соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.

Сделаем замену: пусть $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$.

Тогда:

$x^2 = (\sqrt[6]{a})^2 = a^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$

$y^2 = (\sqrt[6]{b})^2 = b^{\frac{2}{6}} = b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{b}$

$xy = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{ab}$

Подставив эти значения в исходное выражение, видим, что оно принимает вид $(x^2 - xy + y^2)(x+y)$.

По формуле суммы кубов это равно $x^3+y^3$.

Найдем $x^3$ и $y^3$:

$x^3 = (\sqrt[6]{a})^3 = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

$y^3 = (\sqrt[6]{b})^3 = b^{\frac{3}{6}} = b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}$

Следовательно, результат упрощения равен $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$