Номер 22.21, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.21, страница 217.

Условие.

22.21. При каких значениях a выполняется равенство:

1) $\sqrt[4]{(a-5)^3} = (\sqrt[4]{a-5})^3$;

2) $\sqrt[3]{(a-5)^4} = (\sqrt[3]{a-5})^4$;

3) $\sqrt[4]{(a-2)^4} = (\sqrt[4]{a-2})^4$;

4) $\sqrt[6]{a(a-1)} = \sqrt[6]{a^6}\sqrt[6]{(1-a)}$;

5) $\sqrt[10]{a-4} \cdot \sqrt[10]{(a-4)^9} = a-4$;

6) $\frac{\sqrt[12]{a-2}}{\sqrt[12]{3-a}} = \sqrt[12]{\frac{2-a}{a-3}}$ ?

Решение.

1) Для того чтобы равенство $\sqrt[4]{(a-5)^3} = (\sqrt[4]{a-5})^3$ выполнялось, оба выражения должны быть определены.
Выражение в левой части, $\sqrt[4]{(a-5)^3}$, определено, если подкоренное выражение неотрицательно (так как корень четной степени):
$(a-5)^3 \ge 0$
Это неравенство равносильно $a-5 \ge 0$, откуда $a \ge 5$.
Выражение в правой части, $(\sqrt[4]{a-5})^3$, определено, если выражение под корнем неотрицательно:
$a-5 \ge 0$, откуда $a \ge 5$.
Поскольку области определения обоих выражений совпадают ($a \ge 5$), и на этой области тождество $\sqrt[n]{x^k} = (\sqrt[n]{x})^k$ является верным, равенство выполняется при всех $a$, удовлетворяющих этому условию.
Ответ: $a \in [5, +\infty)$.

2) Рассмотрим равенство $\sqrt[3]{(a-5)^4} = (\sqrt[3]{a-5})^4$.
Так как корень нечетной степени (кубический корень) определен для любого действительного числа, оба выражения в равенстве определены для всех действительных значений $a$.
Выражение $(a-5)^4$ всегда неотрицательно.
Выражение $\sqrt[3]{a-5}$ определено для любого $a$.
Тождество $\sqrt[n]{x^k} = (\sqrt[n]{x})^k$ верно, когда обе части определены. В данном случае это выполняется для всех $a \in \mathbb{R}$.
Ответ: $a \in (-\infty, +\infty)$.

3) Рассмотрим равенство $\sqrt[4]{(a-2)^4} = (\sqrt[4]{a-2})^4$.
Левая часть: по определению корня четной степени, $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. Следовательно, $\sqrt[4]{(a-2)^4} = |a-2|$. Это выражение определено для всех действительных $a$.
Правая часть: выражение $\sqrt[4]{a-2}$ определено только при $a-2 \ge 0$, то есть $a \ge 2$. На этой области определения $(\sqrt[4]{a-2})^4 = a-2$.
Таким образом, исходное равенство принимает вид:
$|a-2| = a-2$
Это равенство верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $a-2 \ge 0$, откуда $a \ge 2$. Это условие совпадает с областью определения правой части.
Ответ: $a \in [2, +\infty)$.

4) Рассмотрим равенство $\sqrt[6]{a(a-1)} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{1-a}$.
Найдем область определения для левой части:
$a(a-1) \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $a \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.
Найдем область определения для правой части. Для этого должны выполняться условия:
$a \ge 0$ и $1-a \ge 0$.
Из второго неравенства получаем $a \le 1$. Таким образом, область определения правой части: $a \in [0, 1]$.
Для того чтобы равенство могло выполняться, значение $a$ должно принадлежать пересечению областей определения обеих частей:
$((-\infty, 0] \cup [1, +\infty)) \cap [0, 1] = \{0, 1\}$.
Проверим эти два значения:
При $a=0$: $\sqrt[6]{0(0-1)} = 0$ и $\sqrt[6]{0}\sqrt[6]{1-0} = 0 \cdot 1 = 0$. Равенство $0=0$ верно.
При $a=1$: $\sqrt[6]{1(1-1)} = 0$ и $\sqrt[6]{1}\sqrt[6]{1-1} = 1 \cdot 0 = 0$. Равенство $0=0$ верно.
Следовательно, равенство выполняется только при $a=0$ и $a=1$.
Ответ: $a=0, a=1$.

5) Рассмотрим равенство $\sqrt[10]{a-4} \cdot \sqrt[10]{(a-4)^9} = a-4$.
Оба корня в левой части являются корнями четной степени, поэтому их подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
$a-4 \ge 0 \implies a \ge 4$
$(a-4)^9 \ge 0 \implies a-4 \ge 0 \implies a \ge 4$
Область определения левой части: $a \ge 4$.
На этой области преобразуем левую часть, используя свойство корней $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$ (которое верно для $x \ge 0, y \ge 0$):
$\sqrt[10]{(a-4) \cdot (a-4)^9} = \sqrt[10]{(a-4)^{10}}$
Так как $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$, получаем $\sqrt[10]{(a-4)^{10}} = |a-4|$.
Исходное равенство принимает вид:
$|a-4| = a-4$
Это равенство выполняется при условии $a-4 \ge 0$, то есть $a \ge 4$. Это условие совпадает с найденной областью определения.
Ответ: $a \in [4, +\infty)$.

6) Рассмотрим равенство $\frac{\sqrt[12]{a-2}}{\sqrt[12]{3-a}} = \sqrt[12]{\frac{2-a}{a-3}}$.
Найдем область определения левой части. Выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательны, а знаменатель не должен быть равен нулю:
$a-2 \ge 0 \implies a \ge 2$
$3-a > 0 \implies a < 3$
Область определения левой части: $a \in [2, 3)$.
На этой области левую часть можно записать как $\sqrt[12]{\frac{a-2}{3-a}}$.
Теперь найдем область определения правой части. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательно:
$\frac{2-a}{a-3} \ge 0$
Это неравенство равносильно $\frac{a-2}{3-a} \ge 0$. Решая его, получаем $a \in [2, 3)$.
Области определения левой и правой частей совпадают.
Теперь сравним подкоренные выражения на этой области:
Подкоренное выражение правой части: $\frac{2-a}{a-3} = \frac{-(a-2)}{-(3-a)} = \frac{a-2}{3-a}$.
Видно, что подкоренные выражения левой и правой частей тождественно равны.
Следовательно, равенство выполняется на всей общей области определения.
Ответ: $a \in [2, 3)$.