Номер 22.27, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.27, страница 218.

Условие.

22.27. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $ \sqrt[4]{-m^9} $;

2) $ \sqrt[4]{a^8b^{13}} $, если $ a > 0 $;

3) $ \sqrt[6]{x^6y^7} $, если $ x \ne 0 $;

4) $ \sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} $;

5) $ \sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}} $, если $ a > 0, c < 0 $;

6) $ \sqrt[4]{a^{15}b^{15}} $;

7) $ \sqrt[8]{-a^{25}b^{50}} $.

Решение.

1) $\sqrt[4]{-m^9}$

Поскольку корень имеет четную степень (4), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, должно выполняться условие $-m^9 \ge 0$, что равносильно $m^9 \le 0$. Это неравенство справедливо только при $m \le 0$.

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является степенью с показателем, кратным 4:

$-m^9 = -m \cdot m^8 = (-m) \cdot (m^2)^4$

Теперь можно извлечь корень:

$\sqrt[4]{-m^9} = \sqrt[4]{(m^2)^4 \cdot (-m)}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и правило $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$, получаем:

$\sqrt[4]{(m^2)^4} \cdot \sqrt[4]{-m} = |m^2| \cdot \sqrt[4]{-m}$

Выражение $m^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|m^2| = m^2$.

Следовательно, итоговый результат:

$m^2 \sqrt[4]{-m}$

Ответ: $m^2 \sqrt[4]{-m}$

2) $\sqrt[4]{a^8 b^{13}}$, если $a > 0$

Подкоренное выражение $a^8 b^{13}$ должно быть неотрицательным. Так как $a^8 \ge 0$ (при заданном условии $a > 0$ имеем $a^8 > 0$), то для неотрицательности всего выражения необходимо, чтобы $b^{13} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.

Представим степени переменных под корнем так, чтобы их показатели были кратны 4:

$a^8 = (a^2)^4$

$b^{13} = b^{12} \cdot b = (b^3)^4 \cdot b$

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[4]{a^8 b^{13}} = \sqrt[4]{(a^2)^4 \cdot (b^3)^4 \cdot b} = \sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(b^3)^4} \cdot \sqrt[4]{b}$

Выносим множители из-под знака корня, используя правило $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$:

$|a^2| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[4]{b}$

Раскрываем модули: так как $a^2$ всегда неотрицательно, $|a^2| = a^2$. Так как мы выяснили, что $b \ge 0$, то $b^3 \ge 0$, и следовательно, $|b^3| = b^3$.

Окончательный результат:

$a^2 b^3 \sqrt[4]{b}$

Ответ: $a^2 b^3 \sqrt[4]{b}$

3) $\sqrt[6]{x^6 y^7}$, если $x \ne 0$

Поскольку степень корня четная (6), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^6 y^7 \ge 0$. При $x \ne 0$, множитель $x^6$ всегда положителен ($x^6 > 0$). Следовательно, для выполнения неравенства требуется, чтобы $y^7 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.

Представим подкоренное выражение для вынесения множителей:

$x^6 y^7 = x^6 \cdot y^6 \cdot y$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[6]{x^6 y^7} = \sqrt[6]{x^6 \cdot y^6 \cdot y} = \sqrt[6]{x^6} \cdot \sqrt[6]{y^6} \cdot \sqrt[6]{y}$

Выносим множители:

$|x| \cdot |y| \cdot \sqrt[6]{y}$

Так как мы определили, что $y \ge 0$, то $|y| = y$. Знак переменной $x$ неизвестен, поэтому модуль для $x$ необходимо сохранить.

Окончательный результат:

$|x| y \sqrt[6]{y}$

Ответ: $|x| y \sqrt[6]{y}$

4) $\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}$

Подкоренное выражение $32m^{18}n^{17}$ должно быть неотрицательным. Поскольку $32 > 0$ и $m^{18} \ge 0$ для любого $m$, необходимо, чтобы $n^{17} \ge 0$, что означает $n \ge 0$.

Разложим числовой коэффициент и степени переменных на множители, удобные для извлечения корня четвертой степени:

$32 = 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$

$m^{18} = m^{16} \cdot m^2 = (m^4)^4 \cdot m^2$

$n^{17} = n^{16} \cdot n = (n^4)^4 \cdot n$

Подставим разложение в исходное выражение:

$\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2 \cdot (m^4)^4 \cdot m^2 \cdot (n^4)^4 \cdot n} = \sqrt[4]{2^4 \cdot (m^4)^4 \cdot (n^4)^4 \cdot (2m^2n)}$

Выносим множители:

$\sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{(m^4)^4} \cdot \sqrt[4]{(n^4)^4} \cdot \sqrt[4]{2m^2n} = |2| \cdot |m^4| \cdot |n^4| \cdot \sqrt[4]{2m^2n}$

Раскрываем модули: $|2| = 2$; $|m^4| = m^4$ (так как $m^4 \ge 0$); $|n^4| = n^4$ (так как из $n \ge 0$ следует $n^4 \ge 0$).

Окончательный результат:

$2m^4n^4 \sqrt[4]{2m^2n}$

Ответ: $2m^4n^4 \sqrt[4]{2m^2n}$

5) $\sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}}$, если $a > 0, c < 0$

Подкоренное выражение $162a^4b^8c^{12}$ всегда неотрицательно, поскольку все сомножители ($162$, $a^4$, $b^8$, $c^{12}$) неотрицательны при любых действительных значениях переменных. Условия $a > 0$ и $c < 0$ необходимы для раскрытия модулей.

Разложим множители под корнем:

$162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$

$a^4$

$b^8 = (b^2)^4$

$c^{12} = (c^3)^4$

Подставим в выражение:

$\sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^3)^4} = \sqrt[4]{3^4 \cdot a^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^3)^4 \cdot 2}$

Выносим множители:

$\sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{(b^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(c^3)^4} \cdot \sqrt[4]{2} = |3| \cdot |a| \cdot |b^2| \cdot |c^3| \cdot \sqrt[4]{2}$

Раскрываем модули с учетом заданных условий: $|3| = 3$; $|a| = a$, так как $a > 0$; $|b^2| = b^2$, так как $b^2 \ge 0$ для любого $b$; $|c^3| = -c^3$, так как при $c < 0$ выражение $c^3$ отрицательно.

Собираем все множители вместе:

$3 \cdot a \cdot b^2 \cdot (-c^3) \cdot \sqrt[4]{2} = -3ab^2c^3 \sqrt[4]{2}$

Ответ: $-3ab^2c^3 \sqrt[4]{2}$

6) $\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}$

Подкоренное выражение $a^{15}b^{15} = (ab)^{15}$ должно быть неотрицательным. Это условие выполняется, если $ab \ge 0$, то есть $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно нулю.

Представим степени множителей в виде, удобном для извлечения корня:

$a^{15} = a^{12} \cdot a^3 = (a^3)^4 \cdot a^3$

$b^{15} = b^{12} \cdot b^3 = (b^3)^4 \cdot b^3$

Подставляем в выражение:

$\sqrt[4]{a^{15}b^{15}} = \sqrt[4]{(a^3)^4 \cdot a^3 \cdot (b^3)^4 \cdot b^3} = \sqrt[4]{(a^3)^4 (b^3)^4 (ab)^3}$

Выносим множители:

$\sqrt[4]{(a^3)^4} \cdot \sqrt[4]{(b^3)^4} \cdot \sqrt[4]{(ab)^3} = |a^3| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[4]{(ab)^3}$

Используем свойство модуля $|x| \cdot |y| = |xy|$: $|a^3| \cdot |b^3| = |a^3b^3| = |(ab)^3|$.

Так как по области определения $ab \ge 0$, то $(ab)^3 \ge 0$, и поэтому $|(ab)^3| = (ab)^3 = a^3b^3$.

Окончательный результат:

$a^3b^3 \sqrt[4]{a^3b^3}$

Ответ: $a^3b^3 \sqrt[4]{a^3b^3}$

7) $\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}$

Степень корня четная (8), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^{25}b^{50} \ge 0$. Поскольку $b^{50} = (b^{25})^2 \ge 0$ для любого $b$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $-a^{25} \ge 0$, что равносильно $a^{25} \le 0$, откуда следует $a \le 0$.

Представим подкоренное выражение, выделив множители со степенями, кратными 8:

$-a^{25}b^{50} = (-a) \cdot a^{24} \cdot b^{48} \cdot b^2$

Заметим, что так как $a \le 0$, то $-a \ge 0$.

$a^{24} = (a^3)^8$

$b^{48} = (b^6)^8$

Подставим в выражение:

$\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}} = \sqrt[8]{(a^3)^8 \cdot (b^6)^8 \cdot (-a)b^2}$

Выносим множители из-под знака корня:

$\sqrt[8]{(a^3)^8} \cdot \sqrt[8]{(b^6)^8} \cdot \sqrt[8]{-ab^2} = |a^3| \cdot |b^6| \cdot \sqrt[8]{-ab^2}$

Раскрываем модули: Так как $a \le 0$, то $a^3 \le 0$, следовательно $|a^3| = -a^3$. Так как $b^6 = (b^3)^2 \ge 0$ для любого $b$, то $|b^6| = b^6$.

Собираем все множители:

$(-a^3) \cdot b^6 \cdot \sqrt[8]{-ab^2} = -a^3b^6 \sqrt[8]{-ab^2}$

Ответ: $-a^3b^6 \sqrt[8]{-ab^2}$