Номер 22.31, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.31, страница 218.

Условие.

22.31. Докажите, что значение выражения является целым числом:

$ \frac{1}{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{1 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2} + \sqrt[3]{2 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt[3]{999^2} + \sqrt[3]{999 \cdot 1000} + \sqrt[3]{1000^2}} $

Решение.

Обозначим данное выражение через $S$. Это сумма, общий член которой, для $n$ от 1 до 999, имеет вид:

$a_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n(n+1)} + \sqrt[3]{(n+1)^2}}$

Знаменатель этого выражения представляет собой неполный квадрат суммы и является частью формулы разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

Если положить $x = \sqrt[3]{n+1}$ и $y = \sqrt[3]{n}$, то знаменатель дроби можно записать как $y^2 + yx + x^2$.

Для упрощения дроби домножим ее числитель и знаменатель на выражение $(x-y) = (\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n})$. Это позволит избавиться от иррациональности в знаменателе.

$a_n = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n})}{(\sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n(n+1)} + \sqrt[3]{(n+1)^2}) \cdot (\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n})}$

Применив формулу разности кубов к знаменателю, получим:

$(\sqrt[3]{n+1})^3 - (\sqrt[3]{n})^3 = (n+1) - n = 1$

Таким образом, общий член суммы значительно упрощается:

$a_n = \frac{\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}}{1} = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$

Теперь исходное выражение можно представить в виде телескопической суммы:

$S = \sum_{n=1}^{999} (\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n})$

Распишем эту сумму подробно:

$S = (\sqrt[3]{1+1} - \sqrt[3]{1}) + (\sqrt[3]{2+1} - \sqrt[3]{2}) + (\sqrt[3]{3+1} - \sqrt[3]{3}) + \dots + (\sqrt[3]{999+1} - \sqrt[3]{999})$

$S = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{1}) + (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) + (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3}) + \dots + (\sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{999})$

При сложении этих слагаемых все промежуточные члены взаимно уничтожаются. Положительный член каждой скобки $(\sqrt[3]{k+1})$ сокращается с отрицательным членом следующей скобки $(-\sqrt[3]{k+1})$:

$S = -\sqrt[3]{1} + (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}) + (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3}) + \dots + (\sqrt[3]{999} - \sqrt[3]{999}) + \sqrt[3]{1000}$

В результате остаются только первый и последний члены:

$S = \sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{1}$

Вычислим полученное значение:

$S = 10 - 1 = 9$

Так как значение выражения равно 9, а 9 является целым числом, то утверждение доказано.

Ответ: 9.