Номер 22.32, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.32, страница 218.

Условие.

22.32. При каких значениях a и b верно равенство:

1) $\sqrt[4]{a^5b^5} = ab\sqrt[4]{ab}$;

2) $\sqrt[4]{a^4b} = a\sqrt[4]{b}$;

3) $\sqrt[4]{a^4b} = -a\sqrt[4]{b}$?

Решение.

1) $\sqrt[4]{a^5b^5} = ab\sqrt[4]{ab}$

Равенство определено, если подкоренные выражения неотрицательны. Корень четной степени (4-й) требует, чтобы выражение под ним было больше или равно нулю.

Для левой части: $a^5b^5 \ge 0$. Это эквивалентно $(ab)^5 \ge 0$, что означает $ab \ge 0$.

Для правой части: $ab \ge 0$.

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для этого равенства: $ab \ge 0$.

Преобразуем левую часть равенства, используя свойство корня $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$:
$\sqrt[4]{a^5b^5} = \sqrt[4]{(ab)^5} = \sqrt[4]{(ab)^4 \cdot ab} = \sqrt[4]{(ab)^4} \cdot \sqrt[4]{ab} = |ab|\sqrt[4]{ab}$.

Теперь исходное равенство можно переписать в виде:
$|ab|\sqrt[4]{ab} = ab\sqrt[4]{ab}$.

Это равенство будет верным, если $|ab| = ab$.
Равенство $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \ge 0$.
Следовательно, исходное равенство верно при условии $ab \ge 0$.

Условие $ab \ge 0$ означает, что переменные $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (обе неотрицательны или обе неположительны).
Ответ: $a \ge 0, b \ge 0$ или $a \le 0, b \le 0$.

2) $\sqrt[4]{a^4b} = a\sqrt[4]{b}$

Определим область допустимых значений.

Для левой части: $a^4b \ge 0$. Поскольку $a^4 \ge 0$ для любого действительного $a$, это условие сводится к $b \ge 0$.

Для правой части: $b \ge 0$.

ОДЗ: $b \ge 0$.

Преобразуем левую часть равенства, помня, что $\sqrt[4]{a^4} = |a|$:
$\sqrt[4]{a^4b} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b} = |a|\sqrt[4]{b}$.

Исходное равенство принимает вид:
$|a|\sqrt[4]{b} = a\sqrt[4]{b}$.

Перенесем все в одну сторону:
$|a|\sqrt[4]{b} - a\sqrt[4]{b} = 0$
$(|a| - a)\sqrt[4]{b} = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $\sqrt[4]{b} = 0$, что означает $b=0$. Если $b=0$, равенство $0=0$ верно при любом значении $a$.

2. $|a| - a = 0$, что означает $|a|=a$. Это верно для всех $a \ge 0$. Это решение справедливо для всех $b$ из ОДЗ, то есть при $b \ge 0$.

Объединяя эти два случая, получаем, что равенство верно, если:
- $b=0$ (при любом $a$),
- или $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Эти условия можно записать как: $a \ge 0, b \ge 0$ или $a < 0, b=0$.
Ответ: $a \ge 0, b \ge 0$ или $a < 0, b=0$.

3) $\sqrt[4]{a^4b} = -a\sqrt[4]{b}$

Область допустимых значений такая же, как и в предыдущем пункте: $b \ge 0$.

Преобразование левой части также аналогично:
$\sqrt[4]{a^4b} = |a|\sqrt[4]{b}$.

Подставив это в исходное равенство, получаем:
$|a|\sqrt[4]{b} = -a\sqrt[4]{b}$.

Перенесем все в одну сторону:
$|a|\sqrt[4]{b} + a\sqrt[4]{b} = 0$
$(|a| + a)\sqrt[4]{b} = 0$.

Это равенство верно, если один из множителей равен нулю.

1. $\sqrt[4]{b} = 0$, что означает $b=0$. В этом случае равенство верно при любом значении $a$.

2. $|a| + a = 0$, что означает $|a|=-a$. Это верно для всех $a \le 0$. Это решение справедливо для всех $b$ из ОДЗ, то есть при $b \ge 0$.

Объединяя эти два случая, получаем, что равенство верно, если:
- $b=0$ (при любом $a$),
- или $a \le 0$ и $b \ge 0$.

Эти условия можно записать как: $a \le 0, b \ge 0$ или $a > 0, b=0$.
Ответ: $a \le 0, b \ge 0$ или $a > 0, b=0$.