Номер 22.39, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.39, страница 219.

Условие.

22.39. Упростите выражение:

1) $ (\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1} $

2) $ (\frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x}-1} - \frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}) \cdot \frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1} $

3) $ (\frac{\sqrt[4]{a^3}-\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}) \cdot (\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1) $

4) $ \frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \cdot (\frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9} - \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27}) $

5) $ \frac{\sqrt[3]{2a+2\sqrt{a^2-1}}}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}} + 2} $

Решение.

1) $(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}$

Для упрощения введем замену: пусть $x = \sqrt[4]{a}$, тогда $\sqrt{a} = x^2$.

Сначала преобразуем выражение в скобках:

$\frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2} = \frac{1 \cdot x^2 - (x+1)(x-1)}{x^2(x-1)} = \frac{x^2 - (x^2-1)}{x^2(x-1)} = \frac{x^2 - x^2 + 1}{x^2(x-1)} = \frac{1}{x^2(x-1)}$

Далее упростим делитель, используя формулу квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1} = \frac{x^2}{x^2-2x+1} = \frac{x^2}{(x-1)^2}$

Теперь выполним деление:

$\frac{1}{x^2(x-1)} : \frac{x^2}{(x-1)^2} = \frac{1}{x^2(x-1)} \cdot \frac{(x-1)^2}{x^2} = \frac{x-1}{x^4}$

Выполним обратную замену $x = \sqrt[4]{a}$:

$\frac{\sqrt[4]{a}-1}{(\sqrt[4]{a})^4} = \frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$

2) $(\frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x}-1} - \frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}) \cdot \frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$

Введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{x}$, тогда $\sqrt[3]{x} = y^2$. Заметим, что $\sqrt[3]{x}-1 = y^2-1 = (y-1)(y+1)$.

Преобразуем выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $y^2-1$:

$\frac{y+1}{y-1} - \frac{4y}{y^2-1} = \frac{(y+1)(y+1)}{(y-1)(y+1)} - \frac{4y}{y^2-1} = \frac{y^2+2y+1 - 4y}{y^2-1} = \frac{y^2-2y+1}{y^2-1} = \frac{(y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = \frac{y-1}{y+1}$

Теперь преобразуем второй множитель:

$\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1} = \frac{y^2+y}{y-1} = \frac{y(y+1)}{y-1}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{y-1}{y+1} \cdot \frac{y(y+1)}{y-1} = y$

Выполнив обратную замену $y = \sqrt[6]{x}$, получаем:

Ответ: $\sqrt[6]{x}$

3) $(\frac{\sqrt[4]{a^3}-\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}) \cdot (\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1)$

Введем замену: $x = \sqrt[4]{a}$, $y = \sqrt[4]{b}$. Тогда $\sqrt{a}=x^2$, $\sqrt{b}=y^2$, $\sqrt[4]{a^3}=x^3$, $\sqrt[4]{b^3}=y^3$.

Рассмотрим первую скобку. Упростим дробь, используя формулы разности кубов и разности квадратов:

$\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$

Теперь преобразуем все выражение в первой скобке:

$\frac{x^2+xy+y^2}{x+y} - (x+y) = \frac{x^2+xy+y^2 - (x+y)^2}{x+y} = \frac{x^2+xy+y^2 - (x^2+2xy+y^2)}{x+y} = \frac{-xy}{x+y}$

Рассмотрим вторую скобку:

$\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1 = \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{b}}+1 = \frac{x}{y}+1 = \frac{x+y}{y}$

Перемножим полученные результаты:

$\frac{-xy}{x+y} \cdot \frac{x+y}{y} = -x$

Вернемся к исходной переменной $a$:

$-x = -\sqrt[4]{a}$

Ответ: $-\sqrt[4]{a}$

4) $\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \cdot (\frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9} - \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27})$

Введем замену: $x = \sqrt[6]{a}$, $y = \sqrt[6]{b}$. Тогда $\sqrt[3]{a}=x^2$, $\sqrt{a}=x^3$.

Заметим, что знаменатели в скобках связаны формулой суммы кубов: $\sqrt{a}+27 = (\sqrt[6]{a})^3+3^3 = (x+3)(x^2-3x+9) = (\sqrt[6]{a}+3)(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $\sqrt{a}+27$:

$\frac{(\sqrt[6]{a}-3)(\sqrt[6]{a}+3)}{(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9)(\sqrt[6]{a}+3)} - \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27} = \frac{(\sqrt[6]{a})^2-3^2}{\sqrt{a}+27} - \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27}$

$\frac{\sqrt[3]{a}-9 - (\sqrt[6]{ab}-9)}{\sqrt{a}+27} = \frac{\sqrt[3]{a}-9-\sqrt[6]{ab}+9}{\sqrt{a}+27} = \frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}}{\sqrt{a}+27} = \frac{\sqrt[6]{a}(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})}{\sqrt{a}+27}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \cdot \frac{\sqrt[6]{a}(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})}{\sqrt{a}+27} = \sqrt[6]{a}$

Ответ: $\sqrt[6]{a}$

5) $\frac{\sqrt[3]{2a+2\sqrt{a^2-1}}}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}}+\frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}}+2}}$

Упростим выражение под кубическим корнем в знаменателе. Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{a+1}\sqrt{a-1} = \sqrt{a^2-1}$:

$\frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}}+\frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}}+2 = \frac{(\sqrt{a-1})^2 + (\sqrt{a+1})^2 + 2\sqrt{a-1}\sqrt{a+1}}{\sqrt{a^2-1}}$

Числитель представляет собой квадрат суммы: $(\sqrt{a-1}+\sqrt{a+1})^2 = (a-1) + (a+1) + 2\sqrt{a^2-1} = 2a+2\sqrt{a^2-1}$.

Таким образом, подкоренное выражение в знаменателе равно:

$\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a^2-1}}$

Теперь все выражение можно записать как:

$\frac{\sqrt[3]{2a+2\sqrt{a^2-1}}}{\sqrt[3]{\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a^2-1}}}} = \sqrt[3]{\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a^2-1}}}}$

Сократим числитель и знаменатель подкоренного выражения на $2a+2\sqrt{a^2-1}$:

$\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{a^2-1}}}} = \sqrt[3]{\sqrt{a^2-1}} = \sqrt[6]{a^2-1}$

Ответ: $\sqrt[6]{a^2-1}$