Номер 22.42, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.42, страница 220.

Условие.

22.42. Докажите, что $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4$.

Решение.

Для доказательства равенства обозначим левую часть через $x$:

$x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$

Возведем обе части этого выражения в куб. Для этого воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

В нашем случае, пусть $a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$. Тогда $x = a+b$.

Вычислим $a^3$ и $b^3$:

$a^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}})^3 = 20 + 14\sqrt{2}$

$b^3 = (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3 = 20 - 14\sqrt{2}$

Теперь найдем их сумму:

$a^3 + b^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 - 14\sqrt{2}) = 40$

Далее вычислим произведение $ab$:

$ab = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2})}$

Применим формулу разности квадратов $(c+d)(c-d) = c^2 - d^2$ для выражения под корнем:

$ab = \sqrt[3]{20^2 - (14\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{400 - 196 \cdot 2} = \sqrt[3]{400 - 392} = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь подставим найденные значения в формулу для куба суммы:

$x^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

$x^3 = 40 + 3 \cdot 2 \cdot x$

$x^3 = 40 + 6x$

Мы получили кубическое уравнение относительно $x$:

$x^3 - 6x - 40 = 0$

Нам нужно доказать, что $x=4$. Проверим, является ли $x=4$ корнем этого уравнения, подставив это значение в уравнение:

$4^3 - 6(4) - 40 = 64 - 24 - 40 = 40 - 40 = 0$

Равенство $0=0$ верно, значит $x=4$ — корень уравнения. Чтобы доказать, что это единственный действительный корень, разделим многочлен $x^3 - 6x - 40$ на $(x-4)$.

В результате деления получаем:

$(x-4)(x^2 + 4x + 10) = 0$

Это уравнение имеет решения, если $x-4=0$ или $x^2 + 4x + 10 = 0$.

Первое уравнение дает корень $x=4$.

Для второго уравнения $x^2 + 4x + 10 = 0$ найдем дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 16 - 40 = -24$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственным действительным решением кубического уравнения является $x=4$. Поскольку исходное выражение является действительным числом, его значение равно 4.

Следовательно, равенство $ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4 $ доказано.

Ответ: Равенство доказано.