Номер 22.37, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.37, страница 219.

Условие.

22.37. Постройте график функции:

1) $y = 2x + \sqrt[6]{x^6}$;

2) $y = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^3}$;

3) $y = \sqrt[8]{(x - 2)^8}$;

4) $y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}$;

5) $y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2$;

6) $y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}$.

Решение.

1) Исходная функция: $y = 2x + \sqrt[6]{x^6}$.

По определению корня четной степени, $\sqrt[n]{a^n} = |a|$, если $n$ — четное число. В данном случае показатель корня $n=6$ является четным, поэтому $\sqrt[6]{x^6} = |x|$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде: $y = 2x + |x|$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 2x + x = 3x$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = 2x - x = x$.

Итак, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$. Для $x \ge 0$ это луч прямой $y=3x$, а для $x < 0$ — луч прямой $y=x$.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух лучей: $y=x$ для $x < 0$ и $y=3x$ для $x \ge 0$.

2) Исходная функция: $y = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^3}$.

Найдем область определения функции. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным. Поэтому должны выполняться условия:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x^3 \ge 0 \end{cases} $, что равносильно условию $x \ge 0$.

На области определения $x \ge 0$ можно использовать свойство произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

Упростим выражение: $y = \sqrt[4]{x \cdot x^3} = \sqrt[4]{x^4}$.

Так как по области определения $x \ge 0$, то $\sqrt[4]{x^4} = x$.

Следовательно, функция имеет вид $y = x$ при $x \ge 0$.

Графиком функции является луч, выходящий из начала координат $(0, 0)$ и являющийся частью прямой $y=x$ в первой координатной четверти.

Ответ: $y=x$ при $x \ge 0$.

3) Исходная функция: $y = \sqrt[8]{(x-2)^8}$.

По определению корня четной степени, $\sqrt[n]{a^n} = |a|$, если $n$ — четное число. В данном случае $n=8$, поэтому $\sqrt[8]{(x-2)^8} = |x-2|$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = |x-2|$.

График этой функции получается из графика функции $y=|x|$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Это V-образный график с вершиной в точке $(2, 0)$.

Функцию можно также записать в кусочном виде, раскрыв модуль:

$y = \begin{cases} x-2, & \text{если } x-2 \ge 0 \text{, то есть } x \ge 2 \\ -(x-2), & \text{если } x-2 < 0 \text{, то есть } x < 2 \end{cases} = \begin{cases} x-2, & \text{если } x \ge 2 \\ 2-x, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, выходящих из точки $(2, 0)$: $y=x-2$ для $x \ge 2$ и $y=2-x$ для $x < 2$.

Ответ: $y = |x-2|$.

4) Исходная функция: $y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}$.

Найдем область определения. Выражение под корнем $x^2$ является неотрицательным при любых действительных значениях $x$ ($x^2 \ge 0$). Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in R$.

Упростим выражение: $y = (\sqrt[4]{x^2})^2$.

Воспользуемся свойством степени корня: $y = \sqrt[4]{(x^2)^2} = \sqrt[4]{x^4}$.

Так как корень четной степени ($n=4$), то $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = |x|$.

Графиком функции является V-образный график ("галочка") с вершиной в начале координат $(0, 0)$. График состоит из луча $y=x$ при $x \ge 0$ и луча $y=-x$ при $x < 0$.

Ответ: $y = |x|$.

5) Исходная функция: $y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2$.

Найдем область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. $\sqrt[6]{x^6} = 0$ тогда и только тогда, когда $x^6=0$, то есть $x=0$. Таким образом, область определения: $x \ne 0$.

Упростим знаменатель. Так как степень корня четная ($n=6$), то $\sqrt[6]{x^6} = |x|$.

Функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{|x|} + 2$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{x} + 2 = x^2 + 2$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{-x} + 2 = -x^2 + 2$.

Итак, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} x^2+2, & \text{если } x > 0 \\ -x^2+2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух частей. При $x > 0$ это часть параболы $y=x^2+2$ (ветви вверх, вершина в $(0,2)$). При $x < 0$ это часть параболы $y=-x^2+2$ (ветви вниз, вершина в $(0,2)$). Точка $(0, 2)$ не принадлежит графику (является "выколотой").

Ответ: $y = \begin{cases} x^2+2, & \text{если } x > 0 \\ -x^2+2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

6) Исходная функция: $y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}$.

Найдем область определения функции. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным.

$ \begin{cases} x^3 \ge 0 \\ x^9 \ge 0 \end{cases} $, что равносильно условию $x \ge 0$.

На области определения $x \ge 0$ можно использовать свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

Упростим выражение: $y = \sqrt[6]{x^3 \cdot x^9} = \sqrt[6]{x^{3+9}} = \sqrt[6]{x^{12}}$.

Далее, $\sqrt[6]{x^{12}} = \sqrt[6]{(x^2)^6}$. Так как подкоренное выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то $\sqrt[6]{(x^2)^6} = x^2$.

Таким образом, функция имеет вид $y = x^2$ при $x \ge 0$.

Графиком функции является правая ветвь параболы $y=x^2$, начинающаяся в точке $(0, 0)$.

Ответ: $y=x^2$ при $x \ge 0$.