Номер 22.38, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.38, страница 219.

Условие.

22.38. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[8]{x^8} - 2x$;

2) $y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3}$;

3) $y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}$.

Решение.

1)

Исходная функция: $y = \sqrt[8]{x^8} - 2x$.

По свойству корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, мы можем упростить первое слагаемое: $\sqrt[8]{x^8} = |x|$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = |x| - 2x$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция становится $y = x - 2x = -x$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция становится $y = -x - 2x = -3x$.

Итак, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат (точки (0,0)).

• При $x \ge 0$ это часть прямой $y = -x$ (луч, проходящий через точку (1, -1)).
• При $x < 0$ это часть прямой $y = -3x$ (луч, проходящий через точку (-1, 3)).

Ответ: График функции — это объединение двух лучей: луча прямой $y = -x$ для $x \ge 0$ и луча прямой $y = -3x$ для $x < 0$. Оба луча выходят из точки (0,0).

2)

Исходная функция: $y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3}$.

Найдем область определения функции. Так как корень имеет четный показатель (4), подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$-x \ge 0 \implies x \le 0$

$-x^3 \ge 0 \implies x^3 \le 0 \implies x \le 0$

Следовательно, область определения функции — это $x \le 0$.

На этой области определения мы можем использовать свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$y = \sqrt[4]{(-x) \cdot (-x^3)} = \sqrt[4]{x^4}$

Используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, получаем: $y = |x|$.

Так как наша функция определена только для $x \le 0$, на этой области $|x| = -x$.

Следовательно, для $x \le 0$ имеем функцию $y = -x$.

Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат (0,0) и проходящий через точку (-1, 1), расположенный во второй координатной четверти.

Ответ: График функции — это луч прямой $y = -x$ для $x \le 0$, с началом в точке (0,0).

3)

Исходная функция: $y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}$.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Подкоренное выражение $x^6$ всегда неотрицательно ($x^6 \ge 0$) при любом $x$. Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим числитель. Так как корень имеет четный показатель (6), то $\sqrt[6]{x^6} = |x|$.

Функция принимает вид: $y = \frac{|x|}{x}$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая (учитывая, что $x \neq 0$):

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция становится $y = \frac{x}{x} = 1$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция становится $y = \frac{-x}{x} = -1$.

Итак, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух горизонтальных лучей:

• Луч $y=1$ для $x > 0$. Начальная точка (0, 1) выколота.
• Луч $y=-1$ для $x < 0$. Начальная точка (0, -1) выколота.

Ответ: График функции — это объединение двух открытых лучей: луча $y=1$ при $x > 0$ и луча $y=-1$ при $x < 0$. Точки (0, 1) и (0, -1) не принадлежат графику (являются выколотыми).