Номер 22.35, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.35, страница 219.

Условие.

22.35. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{10 - 3 \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}}}$;

2) $\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6 - 4\sqrt{2}};$

3) $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9 - 6\sqrt{2} - \sqrt[6]{18}}}{\sqrt[6]{2} - 1}$.

Решение.

1) $\sqrt[3]{\sqrt{10}-3} \cdot \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}}$

Для упрощения выражения приведем корни к одному показателю, наименьшее общее кратное для 3 и 6 равно 6.

Преобразуем первый множитель: $\sqrt[3]{\sqrt{10}-3} = \sqrt[6]{(\sqrt{10}-3)^2} = \sqrt[6]{(\sqrt{10})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{10} + 3^2} = \sqrt[6]{10 - 6\sqrt{10} + 9} = \sqrt[6]{19 - 6\sqrt{10}}$

Теперь исходное выражение можно записать как произведение корней шестой степени: $\sqrt[6]{19 - 6\sqrt{10}} \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}}$

Используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, объединим подкоренные выражения: $\sqrt[6]{(19 - 6\sqrt{10})(19 + 6\sqrt{10})}$

Выражение в скобках является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=19$ и $b=6\sqrt{10}$: $\sqrt[6]{19^2 - (6\sqrt{10})^2} = \sqrt[6]{361 - (36 \cdot 10)} = \sqrt[6]{361 - 360} = \sqrt[6]{1} = 1$

Ответ: 1

2) $\sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}}$

Приведем корни к общему показателю 4.

Преобразуем первый множитель: $\sqrt{4+2\sqrt{2}} = \sqrt[4]{(4+2\sqrt{2})^2} = \sqrt[4]{4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt[4]{16 + 16\sqrt{2} + 8} = \sqrt[4]{24 + 16\sqrt{2}}$

Перемножим подкоренные выражения: $\sqrt[4]{(24 + 16\sqrt{2})(6 - 4\sqrt{2})}$

Вынесем общие множители из каждой скобки: $\sqrt[4]{8(3 + 2\sqrt{2}) \cdot 2(3 - 2\sqrt{2})} = \sqrt[4]{16 \cdot (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}$

Применим формулу разности квадратов к выражению в скобках: $\sqrt[4]{16 \cdot (3^2 - (2\sqrt{2})^2)} = \sqrt[4]{16 \cdot (9 - 8)} = \sqrt[4]{16 \cdot 1} = \sqrt[4]{16}$

Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: 2

3) $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}} - \sqrt[6]{18}}{\sqrt[6]{2}-1}$

Рассмотрим числитель дроби. Упростим первое слагаемое, приведя корни к общему показателю 6: $\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}} = \sqrt[6]{(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2} \cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}}$

Возведем в квадрат первое подкоренное выражение: $(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2\sqrt{9 \cdot 2} = 9 + 6\sqrt{2}$

Произведение принимает вид: $\sqrt[6]{9 + 6\sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{9 - 6\sqrt{2}} = \sqrt[6]{(9 + 6\sqrt{2})(9 - 6\sqrt{2})}$

Используя формулу разности квадратов, получаем: $\sqrt[6]{9^2 - (6\sqrt{2})^2} = \sqrt[6]{81 - 72} = \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{3^2} = 3^{2/6} = 3^{1/3} = \sqrt[3]{3}$

Теперь числитель дроби равен: $\sqrt[3]{3} - \sqrt[6]{18}$.

Упростим $\sqrt[6]{18}$: $\sqrt[6]{18} = \sqrt[6]{9 \cdot 2} = \sqrt[6]{9} \cdot \sqrt[6]{2} = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{2}$.

Тогда числитель равен: $\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{2} = \sqrt[3]{3}(1 - \sqrt[6]{2})$.

Подставим полученное выражение для числителя в исходную дробь: $\frac{\sqrt[3]{3}(1 - \sqrt[6]{2})}{\sqrt[6]{2}-1}$

Заметим, что $1 - \sqrt[6]{2} = -(\sqrt[6]{2} - 1)$. Тогда: $\frac{\sqrt[3]{3} \cdot (-( \sqrt[6]{2} - 1))}{\sqrt[6]{2}-1} = -\sqrt[3]{3}$

Ответ: $-\sqrt[3]{3}$