Номер 22.30, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.30, страница 218.

Условие.

22.30. Внесите множитель под знак корня:

1) $c^8\sqrt[3]{3}$, если $c \le 0;$

2) $a\sqrt[6]{a};$

3) $-ab\sqrt[4]{6}$, если $a \le 0, b \ge 0;$

4) $ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}}$, если $a < 0;$

5) $a\sqrt[4]{-a^3}.$

Решение.

1) Чтобы внести множитель $c$ под знак корня восьмой степени, нужно возвести его в восьмую степень. Поскольку степень корня $n=8$ четная, а по условию $c \le 0$, то при внесении множителя под знак корня перед корнем ставится знак минус, а под корень вносится множитель, взятый со знаком минус $(-c)$.
$c\sqrt[8]{3} = -(-c)\sqrt[8]{3} = -\sqrt[8]{(-c)^8 \cdot 3} = -\sqrt[8]{c^8 \cdot 3} = -\sqrt[8]{3c^8}$.
Ответ: $-\sqrt[8]{3c^8}$.

2) Степень корня $n=6$ четная. Выражение $\sqrt[6]{a}$ имеет смысл только при $a \ge 0$. Так как множитель $a$ неотрицателен, вносим его под знак корня, возведя в шестую степень.
$a\sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a} = \sqrt[6]{a^7}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a^7}$.

3) Степень корня $n=4$ четная. Определим знак множителя $-ab$. По условию $a \le 0$ и $b \ge 0$, следовательно, их произведение $ab \le 0$. Тогда множитель $-ab \ge 0$. Так как множитель неотрицателен, вносим его под знак корня, возведя в четвертую степень.
$-ab\sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{(-ab)^4 \cdot 6} = \sqrt[4]{a^4b^4 \cdot 6} = \sqrt[4]{6a^4b^4}$.
Ответ: $\sqrt[4]{6a^4b^4}$.

4) Степень корня $n=8$ четная. Чтобы подкоренное выражение $\frac{3}{a^4b^5}$ было неотрицательным при $a < 0$ (тогда $a^4 > 0$), необходимо, чтобы $b^5 > 0$, то есть $b > 0$. Определим знак множителя $ab$. Так как $a < 0$ и $b > 0$, то $ab < 0$. Поскольку множитель отрицательный, а степень корня четная, при внесении его под знак корня мы ставим перед корнем знак минус, а под корень вносим модуль этого множителя, то есть $-ab$.
$ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}} = -(-ab)\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}} = -\sqrt[8]{(-ab)^8 \cdot \frac{3}{a^4b^5}} = -\sqrt[8]{a^8b^8 \cdot \frac{3}{a^4b^5}} = -\sqrt[8]{\frac{3a^8b^8}{a^4b^5}} = -\sqrt[8]{3a^{8-4}b^{8-5}} = -\sqrt[8]{3a^4b^3}$.
Ответ: $-\sqrt[8]{3a^4b^3}$.

5) Степень корня $n=4$ четная. Выражение $\sqrt[4]{-a^3}$ имеет смысл, если $-a^3 \ge 0$, что эквивалентно $a^3 \le 0$, а значит $a \le 0$. Множитель $a$ является неположительным. При внесении неположительного множителя под знак корня четной степени, перед корнем ставится знак минус, а под корень вносится модуль множителя, то есть $-a$.
$a\sqrt[4]{-a^3} = -(-a)\sqrt[4]{-a^3} = -\sqrt[4]{(-a)^4 \cdot (-a^3)} = -\sqrt[4]{a^4 \cdot (-a^3)} = -\sqrt[4]{-a^7}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{-a^7}$.