Номер 22.22, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.22, страница 217.

Условие.

22.22. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[6]{a^{30}} = a^5$;

3) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{a})^4$;

2) $\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5$;

4) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{-a})^4$?

Решение.

1) Рассмотрим равенство $\sqrt[6]{a^{30}} = a^5$.

Левая часть равенства преобразуется с использованием свойства корня четной степени $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
$\sqrt[6]{a^{30}} = \sqrt[6]{(a^5)^6} = |a^5|$.
Тогда исходное равенство принимает вид: $|a^5| = a^5$.
Равенство $|x| = x$ верно тогда и только тогда, когда $x \geq 0$.
В нашем случае это означает, что $a^5 \geq 0$, что равносильно $a \geq 0$.
Ответ: $a \geq 0$.

2) Рассмотрим равенство $\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5$.

Аналогично предыдущему пункту, левая часть равна $|a^5|$.
$\sqrt[6]{a^{30}} = \sqrt[6]{(a^5)^6} = |a^5|$.
Тогда исходное равенство принимает вид: $|a^5| = -a^5$.
Равенство $|x| = -x$ верно тогда и только тогда, когда $x \leq 0$.
В нашем случае это означает, что $a^5 \leq 0$, что равносильно $a \leq 0$.
Ответ: $a \leq 0$.

3) Рассмотрим равенство $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{a})^4$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$.
Левая часть, $\sqrt[4]{a^4}$, определена для любого действительного значения $a$, так как $a^4 \geq 0$ всегда.
Правая часть, $(\sqrt[4]{a})^4$, определена только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно, то есть $a \geq 0$.
Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $a \geq 0$.
Теперь преобразуем обе части равенства в рамках ОДЗ.
Для $a \geq 0$:
Левая часть: $\sqrt[4]{a^4} = |a| = a$.
Правая часть: $(\sqrt[4]{a})^4 = a$.
Получаем тождество $a = a$, которое верно для всех $a$ из ОДЗ.
Ответ: $a \geq 0$.

4) Рассмотрим равенство $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{-a})^4$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$.
Левая часть, $\sqrt[4]{a^4}$, определена для любого действительного значения $a$.
Правая часть, $(\sqrt[4]{-a})^4$, определена только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно, то есть $-a \geq 0$, что равносильно $a \leq 0$.
Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $a \leq 0$.
Теперь преобразуем обе части равенства в рамках ОДЗ.
Для $a \leq 0$:
Левая часть: $\sqrt[4]{a^4} = |a| = -a$.
Правая часть: $(\sqrt[4]{-a})^4 = -a$.
Получаем тождество $-a = -a$, которое верно для всех $a$ из ОДЗ.
Ответ: $a \leq 0$.