Номер 22.17, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.17, страница 216.

Условие.

22.17. Упростите выражение:

1) $(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2})(1 - \sqrt[3]{a});$

2) $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a}).$

Решение.

1) Данное выражение $(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2})(1 - \sqrt[3]{a})$ представляет собой произведение неполного квадрата суммы и разности, что соответствует формуле разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
В нашем случае, если принять $x=1$ и $y=\sqrt[3]{a}$, то выражение можно записать как:
$(1 - \sqrt[3]{a})(1^2 + 1 \cdot \sqrt[3]{a} + (\sqrt[3]{a})^2) = (1 - \sqrt[3]{a})(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2})$.
Это произведение равно $1^3 - (\sqrt[3]{a})^3$.
Упростив, получаем:
$1^3 - (\sqrt[3]{a})^3 = 1 - a$.
Ответ: $1-a$.

2) В выражении $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a})$ начнем упрощение с произведения последних двух множителей, используя формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Пусть $x=1$ и $y=\sqrt[4]{a}$:
$(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a}) = 1^2 - (\sqrt[4]{a})^2 = 1 - \sqrt[4]{a^2} = 1 - \sqrt{a}$.
Теперь исходное выражение принимает вид:
$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})$.
Применим формулу разности квадратов еще раз, где $x=1$ и $y=\sqrt{a}$:
$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = 1 - a$.
Ответ: $1-a$.