Номер 22.13, страница 216 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.13, страница 216.

Условие.

22.13. Замените выражение тождественно равным ему:

1) $\sqrt[3]{625} - \sqrt[3]{320} - \sqrt[3]{135} + \sqrt[3]{40};$

2) $\sqrt[3]{56m} + \sqrt[3]{-189m} - \sqrt[3]{-81n} - 1,5\sqrt[3]{24n} + \sqrt[3]{448m}.$

Решение.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{625} - \sqrt[3]{320} - \sqrt[3]{135} + \sqrt[3]{40}$, необходимо вынести множители из-под знака кубического корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был точным кубом.

Разложим каждое число на множители:

• $625 = 125 \cdot 5 = 5^3 \cdot 5$
• $320 = 64 \cdot 5 = 4^3 \cdot 5$
• $135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5$
• $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

Теперь вынесем множители из-под знака корня для каждого слагаемого:

• $\sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5} = 5\sqrt[3]{5}$
• $\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = 4\sqrt[3]{5}$
• $\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5} = 3\sqrt[3]{5}$
• $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$

Подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение:

$5\sqrt[3]{5} - 4\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{5}$

Так как все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt[3]{5}$, мы можем сложить их коэффициенты:

$(5 - 4 - 3 + 2)\sqrt[3]{5} = (1 - 3 + 2)\sqrt[3]{5} = (-2 + 2)\sqrt[3]{5} = 0 \cdot \sqrt[3]{5} = 0$

Ответ: $0$

2) Упростим выражение $\sqrt[3]{56m} + \sqrt[3]{-189m} - \sqrt[3]{-81n} - 1,5\sqrt[3]{24n} + \sqrt[3]{448m}$.

Сначала воспользуемся свойством корня нечетной степени $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$, чтобы вынести знаки минуса из-под корней:

$\sqrt[3]{-189m} = -\sqrt[3]{189m}$

$\sqrt[3]{-81n} = -\sqrt[3]{81n}$

После подстановки выражение примет вид:

$\sqrt[3]{56m} - \sqrt[3]{189m} - (-\sqrt[3]{81n}) - 1,5\sqrt[3]{24n} + \sqrt[3]{448m} = \sqrt[3]{56m} - \sqrt[3]{189m} + \sqrt[3]{81n} - 1,5\sqrt[3]{24n} + \sqrt[3]{448m}$

Сгруппируем слагаемые по переменным $m$ и $n$:

$(\sqrt[3]{56m} - \sqrt[3]{189m} + \sqrt[3]{448m}) + (\sqrt[3]{81n} - 1,5\sqrt[3]{24n})$

Теперь упростим каждую группу, вынося множители из-под знака корня.

Для слагаемых с переменной $m$ общим будет корень $\sqrt[3]{7m}$:

• $\sqrt[3]{56m} = \sqrt[3]{8 \cdot 7m} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 7m} = 2\sqrt[3]{7m}$
• $\sqrt[3]{189m} = \sqrt[3]{27 \cdot 7m} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 7m} = 3\sqrt[3]{7m}$
• $\sqrt[3]{448m} = \sqrt[3]{64 \cdot 7m} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 7m} = 4\sqrt[3]{7m}$

Суммируем слагаемые с $m$:

$2\sqrt[3]{7m} - 3\sqrt[3]{7m} + 4\sqrt[3]{7m} = (2 - 3 + 4)\sqrt[3]{7m} = 3\sqrt[3]{7m}$

Для слагаемых с переменной $n$ общим будет корень $\sqrt[3]{3n}$:

• $\sqrt[3]{81n} = \sqrt[3]{27 \cdot 3n} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3n} = 3\sqrt[3]{3n}$
• $\sqrt[3]{24n} = \sqrt[3]{8 \cdot 3n} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3n} = 2\sqrt[3]{3n}$

Суммируем слагаемые с $n$:

$\sqrt[3]{81n} - 1,5\sqrt[3]{24n} = 3\sqrt[3]{3n} - 1,5 \cdot (2\sqrt[3]{3n}) = 3\sqrt[3]{3n} - 3\sqrt[3]{3n} = 0$

Сложим результаты, полученные для каждой группы:

$3\sqrt[3]{7m} + 0 = 3\sqrt[3]{7m}$

Ответ: $3\sqrt[3]{7m}$