Номер 22.51, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 22. Свойства корня n-й степени - номер 22.51, страница 220.

Условие.

22.51. Докажите, что при любом целом значении $n$ значение выражения $n(n + 1)(2n + 1)$ кратно 6.

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения $n(n + 1)(2n + 1)$ кратно 6 при любом целом значении $n$, необходимо доказать, что оно делится на 2 и на 3 одновременно. Этого достаточно, поскольку числа 2 и 3 являются взаимно простыми, и их произведение равно 6.

Доказательство делимости на 2

В произведении $n(n + 1)(2n + 1)$ множители $n$ и $n + 1$ представляют собой два последовательных целых числа. Среди любых двух последовательных целых чисел одно обязательно является чётным, то есть делится на 2. Следовательно, их произведение $n(n + 1)$ всегда делится на 2. А раз один из сомножителей всего выражения делится на 2, то и всё выражение $n(n + 1)(2n + 1)$ делится на 2.

Доказательство делимости на 3

Для доказательства делимости на 3 рассмотрим три возможных случая в зависимости от остатка от деления числа $n$ на 3.

Случай 1: $n$ кратно 3.
В этом случае $n = 3k$ для некоторого целого $k$. Первый множитель $n$ в выражении делится на 3, следовательно, и всё произведение делится на 3.

Случай 2: $n$ дает остаток 1 при делении на 3.
В этом случае $n = 3k + 1$ для некоторого целого $k$. Проверим множитель $2n + 1$:
$2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1)$.
Множитель $2n + 1$ делится на 3, а значит, и всё произведение делится на 3.

Случай 3: $n$ дает остаток 2 при делении на 3.
В этом случае $n = 3k + 2$ для некоторого целого $k$. Проверим множитель $n + 1$:
$n + 1 = (3k + 2) + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)$.
Множитель $n + 1$ делится на 3, а значит, и всё произведение делится на 3.

Таким образом, во всех возможных случаях один из множителей выражения $n(n + 1)(2n + 1)$ делится на 3, что доказывает делимость всего выражения на 3.

Заключение

Поскольку выражение $n(n + 1)(2n + 1)$ делится и на 2, и на 3 при любом целом $n$, оно делится и на их произведение, то есть на 6. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.