Номер 23.2, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.2, страница 225.

Условие.

23.2. Замените степень с дробным показателем корнем:

1) $3^{-\frac{1}{9}};$ 2) $c^{0,2};$ 3) $x^{\frac{6}{7}};$ 4) $(a - 2b)^{\frac{9}{16}}.$

Решение.

1) Для преобразования выражения $3^{-\frac{1}{9}}$ используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$ и свойство степени с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
Сначала применим правило для отрицательной степени: $3^{-\frac{1}{9}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{9}}}$.
Теперь заменим степень с дробным показателем корнем, где $m=1$ и $n=9$: $3^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{3^1} = \sqrt[9]{3}$.
Таким образом, итоговый результат: $\frac{1}{\sqrt[9]{3}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[9]{3}}$

2) В выражении $c^{0,2}$ сначала необходимо преобразовать десятичный показатель $0,2$ в обыкновенную дробь: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Таким образом, выражение принимает вид $c^{\frac{1}{5}}$.
Далее используем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание $a=c$, числитель $m=1$ и знаменатель $n=5$.
Получаем: $c^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{c^1} = \sqrt[5]{c}$.
Ответ: $\sqrt[5]{c}$

3) Для преобразования выражения $x^{\frac{6}{7}}$ применим правило $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
В данном случае основание $a=x$, числитель показателя $m=6$, а знаменатель $n=7$.
Подставляем значения в формулу: $x^{\frac{6}{7}} = \sqrt[7]{x^6}$.
Ответ: $\sqrt[7]{x^6}$

4) В выражении $(a-2b)^{\frac{9}{16}}$ основанием степени является все выражение в скобках, то есть $(a-2b)$.
Применяем ту же формулу $A^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{A^m}$, где $A = (a-2b)$.
Числитель показателя $m=9$, а знаменатель $n=16$.
В результате получаем: $(a - 2b)^{\frac{9}{16}} = \sqrt[16]{(a - 2b)^9}$.
Ответ: $\sqrt[16]{(a - 2b)^9}$