Номер 23.6, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.6, страница 226.

Условие.

23.6. Чему равно значение выражения:

1) $8^{\frac{1}{3}};$

2) $10000^{\frac{1}{4}};$

3) $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}};$

4) $0,125^{-\frac{2}{3}}?$

Решение.

1) Чтобы найти значение выражения $8^{\frac{1}{3}}$, воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8^1} = \sqrt[3]{8}$.
Поскольку $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, то кубический корень из 8 равен 2.
Таким образом, $8^{\frac{1}{3}} = 2$.
Альтернативный способ — представить основание степени в виде степени другого числа: $8 = 2^3$. Тогда, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

2) Чтобы найти значение выражения $10000^{\frac{1}{4}}$, применим определение степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
$10000^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{10000}$.
Поскольку $10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$, то корень четвертой степени из 10000 равен 10.
Таким образом, $10000^{\frac{1}{4}} = 10$.
Альтернативный способ — представить 10000 как $10^4$:
$10000^{\frac{1}{4}} = (10^4)^{\frac{1}{4}} = 10^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 10^1 = 10$.
Ответ: 10

3) Для нахождения значения выражения $(\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}}$ сначала используем свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{4}{1})^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}}$.
Далее, по определению степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$:
$4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.
Альтернативный способ — представить основание 4 как $2^2$:
$4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8

4) Для нахождения значения выражения $0,125^{-\frac{2}{3}}$ сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Теперь выражение выглядит так: $(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$.
Применим свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{8}{1})^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}}$.
Далее, по определению степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$:
$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.
Альтернативный способ — представить основание 8 как $2^3$:
$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4