Номер 23.13, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.13, страница 227.

Условие.

23.13. Представьте данное выражение в виде разности квадратов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a - b$;

2) $a^3 - b^3$;

3) $x^{\frac{1}{2}} - 3$;

4) $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{7}}$;

Решение.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Условие о том, что переменные принимают только неотрицательные значения ($a, b, x, y \ge 0$), позволяет нам представить любое слагаемое $X$ в виде квадрата: $X = (X^{\frac{1}{2}})^2$.

1) $a - b$

Представим $a$ и $b$ в виде квадратов: $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$.

Тогда исходное выражение примет вид разности квадратов:

$a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2$

Теперь разложим его на множители по формуле разности квадратов:

$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

Ответ: $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$

2) $a^3 - b^3$

Представим $a^3$ и $b^3$ в виде квадратов, используя свойство $X^k = (X^{\frac{k}{2}})^2$:

$a^3 = (a^{\frac{3}{2}})^2$ и $b^3 = (b^{\frac{3}{2}})^2$.

Тогда выражение примет вид разности квадратов:

$a^3 - b^3 = (a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2$

Применим формулу разности квадратов для разложения на множители:

$(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}})$

Ответ: $(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}})$

3) $x^{\frac{1}{2}} - 3$

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1/2}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{4}})^2$

$3 = (\sqrt{3})^2$

Получаем разность квадратов:

$x^{\frac{1}{2}} - 3 = (x^{\frac{1}{4}})^2 - (\sqrt{3})^2$

Разложим на множители:

$(x^{\frac{1}{4}} - \sqrt{3})(x^{\frac{1}{4}} + \sqrt{3})$

Ответ: $(x^{\frac{1}{4}} - \sqrt{3})(x^{\frac{1}{4}} + \sqrt{3})$

4) $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{7}}$

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$x^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1/3}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2$

$y^{\frac{1}{7}} = (y^{\frac{1/7}{2}})^2 = (y^{\frac{1}{14}})^2$

Получаем разность квадратов:

$x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{7}} = (x^{\frac{1}{6}})^2 - (y^{\frac{1}{14}})^2$

Разложим на множители:

$(x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{14}})(x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{14}})$

Ответ: $(x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{14}})(x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{14}})$