Номер 23.18, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.18, страница 228.

Условие.

23.18. Сократите дробь:

1) $\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$;

2) $\frac{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{5}{4}}}$;

3) $\frac{a - b^2}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}b}$;

4) $\frac{a - b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$;

5) $\frac{a^{0,5} - b^{0,5}}{a - b}$;

6) $\frac{x^{3,5}y^{2,5} - x^{2,5}y^{3,5}}{x + 2x^{0,5}y^{0,5} + y}$;

7) $\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25}$;

8) $\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}}$;

9) $\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}$;

Решение.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$, вынесем в числителе общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$ за скобки.
$a + 2a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{1 - \frac{1}{3}} + 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)$.
Теперь подставим это выражение обратно в дробь: $\frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$.
Сокращаем одинаковые выражения $(a^{\frac{2}{3}} + 2)$ в числителе и знаменателе.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{5}{4}}}$, можно разделить каждый член числителя на знаменатель:
$\frac{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}}}{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{5}{4}}} - \frac{m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{5}{4}}}$.
Используя свойство степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$, получаем:
$m^{\frac{5}{4}-\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}-\frac{5}{4}} - m^{\frac{1}{4}-\frac{5}{4}}n^{\frac{5}{4}-\frac{5}{4}} = m^0 n^{-\frac{4}{4}} - m^{-\frac{4}{4}}n^0 = n^{-1} - m^{-1}$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{1}{n} - \frac{1}{m} = \frac{m-n}{mn}$.
Ответ: $\frac{m-n}{mn}$.

3) В дроби $\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b}$ разложим числитель по формуле разности квадратов, представив $a$ как $(a^{\frac{1}{2}})^2$:
$a - b^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - b^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b)(a^{\frac{1}{2}} + b)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ за скобки:
$a - a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b)$.
Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b)(a^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b)}$.
Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b)$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}}$.

4) Для сокращения дроби $\frac{a - b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$ применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим числитель $a - b$ как разность кубов: $a - b = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (b^{\frac{1}{3}})^3$.
Разложим его на множители: $(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.
Дробь примет вид: $\frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$.
Сократим общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.

5) В дроби $\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{a - b}$ разложим знаменатель по формуле разности квадратов, представив $a = (a^{0.5})^2$ и $b = (b^{0.5})^2$:
$a - b = (a^{0.5} - b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})$.
Подставим это в знаменатель: $\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{(a^{0.5} - b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}$.
Сократим общий множитель $(a^{0.5} - b^{0.5})$.
Ответ: $\frac{1}{a^{0.5} + b^{0.5}}$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{x^{3.5}y^{2.5} - x^{2.5}y^{3.5}}{x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y}$.
В числителе вынесем общий множитель $x^{2.5}y^{2.5}$: $x^{2.5}y^{2.5}(x - y)$.
Знаменатель $x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y$ является квадратом суммы: $(x^{0.5} + y^{0.5})^2$.
Теперь разложим множитель $(x-y)$ в числителе как разность квадратов: $x-y = (x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})$.
Дробь примет вид: $\frac{x^{2.5}y^{2.5}(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})}{(x^{0.5} + y^{0.5})^2}$.
Сократим общий множитель $(x^{0.5} + y^{0.5})$.
Ответ: $\frac{x^{2.5}y^{2.5}(x^{0.5} - y^{0.5})}{x^{0.5} + y^{0.5}}$.

7) В дроби $\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $a - 125$ — это разность кубов: $a - 125 = (a^{\frac{1}{3}})^3 - 5^3 = (a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25)$.
Знаменатель $a^{\frac{2}{3}} - 25$ — это разность квадратов: $a^{\frac{2}{3}} - 25 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 5^2 = (a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{1}{3}} + 5)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25)}{(a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{1}{3}} + 5)}$.
Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} - 5)$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}$.

8) Рассмотрим дробь $\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}}$.
В числителе вынесем за скобки $m^{\frac{5}{6}}$: $m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{2}{6}} - 36) = m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{3}} - 36)$.
Разложим $(m^{\frac{1}{3}} - 36)$ как разность квадратов: $m^{\frac{1}{3}} - 36 = (m^{\frac{1}{6}})^2 - 6^2 = (m^{\frac{1}{6}} - 6)(m^{\frac{1}{6}} + 6)$.
Числитель равен $m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)(m^{\frac{1}{6}} + 6)$.
В знаменателе вынесем за скобки $m^{\frac{1}{3}}$ (так как $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$): $m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} - 6) = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)$.
Дробь примет вид: $\frac{m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)(m^{\frac{1}{6}} + 6)}{m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)}$.
Сократим $(m^{\frac{1}{6}} - 6)$ и упростим степени $m$: $\frac{m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{3}}}(m^{\frac{1}{6}} + 6) = m^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}}(m^{\frac{1}{6}} + 6) = m^{\frac{3}{6}}(m^{\frac{1}{6}} + 6) = m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{6}} + 6)$.
Ответ: $m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{6}} + 6)$.

9) В дроби $\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
Числитель: $24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = (3 \cdot 8)^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 8^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = 8^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)$.
Знаменатель: $6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = (3 \cdot 2)^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)$.
Подставим в дробь: $\frac{8^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)}{2^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)}$.
Сократим $(3^{\frac{1}{4}} - 1)$: $\frac{8^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}} = (\frac{8}{2})^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{1}{4}}$.
Упростим результат: $4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.