Номер 23.23, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.23, страница 229.

Условие.

23.23. Решите уравнение:

1) $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04$;

2) $(x-2)^{\frac{5}{2}} = 32$;

3) $(x^2 - 2x)^{-\frac{1}{4}} = -1$.

Решение.

1) $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04$

Сначала представим десятичную дробь $0,04$ в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.

Теперь уравнение выглядит так: $x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), перепишем левую часть:

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{25}$

Отсюда следует, что $x^{\frac{2}{3}} = 25$.

Выражение $x^{\frac{2}{3}}$ можно представить как $(\sqrt[3]{x})^2$ или $(x^{\frac{1}{3}})^2$. Уравнение принимает вид:

$(x^{\frac{1}{3}})^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1. $x^{\frac{1}{3}} = 5$

Возводим обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x})^3 = 5^3$

$x = 125$

2. $x^{\frac{1}{3}} = -5$

Возводим обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x})^3 = (-5)^3$

$x = -125$

Проверим оба корня, подставив их в исходное уравнение $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04$:

При $x=125$: $125^{-\frac{2}{3}} = (5^3)^{-\frac{2}{3}} = 5^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 5^{-2} = \frac{1}{25} = 0,04$. Верно.

При $x=-125$: $(-125)^{-\frac{2}{3}} = ((-5)^3)^{-\frac{2}{3}} = (-5)^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = (-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = \frac{1}{25} = 0,04$. Верно.

Ответ: $x_1 = 125, x_2 = -125$.

2) $(x-2)^{\frac{5}{2}} = 32$

Показатель степени $\frac{5}{2}$ означает извлечение квадратного корня, поэтому выражение в левой части уравнения определено только при условии, что основание степени неотрицательно. Область допустимых значений (ОДЗ) находится из неравенства:

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную данной, то есть в степень $\frac{2}{5}$:

$((x-2)^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = 32^{\frac{2}{5}}$

$x-2 = (\sqrt[5]{32})^2$

Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$. Подставляем это значение:

$x-2 = 2^2$

$x-2 = 4$

$x = 6$

Полученное значение $x=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 2$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $x=6$.

3) $(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}} = -1$

Левая часть уравнения, $(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}}$, представляет собой арифметический корень четвертой степени из выражения $x^2 - 2x$.

По определению, арифметический корень четной степени (второй, четвертой, шестой и т.д.) из действительного числа всегда является неотрицательным числом. То есть, для любых $x$, при которых выражение имеет смысл, выполняется неравенство:

$(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}} \ge 0$

В то же время, правая часть уравнения равна $-1$, то есть является отрицательным числом.

Таким образом, мы получаем равенство, в котором неотрицательное число приравнивается к отрицательному, что невозможно.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.