Номер 23.24, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.24, страница 229.

Условие.

23.24. Решите уравнение:

1) $x^{-1,5} = 27;$

2) $(x - 1)^{-\frac{2}{5}} = 100;$

3) $(x - 5)^{\frac{3}{7}} = 0.$

Решение.

1) $x^{-1,5} = 27$

Исходное уравнение: $x^{-1,5} = 27$.

Преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь: $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.

Уравнение принимает вид: $x^{-\frac{3}{2}} = 27$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем уравнение:

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 27$

Выразим $x^{\frac{3}{2}}$:

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{27}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную $\frac{3}{2}$, то есть в степень $\frac{2}{3}$:

$(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = (\frac{1}{27})^{\frac{2}{3}}$

$x = (\frac{1}{3^3})^{\frac{2}{3}} = \frac{1^{\frac{2}{3}}}{(3^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3^{3 \cdot \frac{2}{3}}} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Поскольку показатель степени $-1,5$ не является целым числом, основание степени $x$ должно быть положительным ($x > 0$). Корень $x=\frac{1}{9}$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

2) $(x-1)^{\frac{2}{5}} = 100$

Исходное уравнение: $(x-1)^{\frac{2}{5}} = 100$.

Представим левую часть как квадрат выражения: $((x-1)^{\frac{1}{5}})^2 = 100$.

Это уравнение распадается на два случая, так как если $y^2 = 100$, то $y = 10$ или $y = -10$.

Случай 1:

$(x-1)^{\frac{1}{5}} = 10$

Возведем обе части в 5-ю степень:

$((x-1)^{\frac{1}{5}})^5 = 10^5$

$x-1 = 100000$

$x_1 = 100001$

Случай 2:

$(x-1)^{\frac{1}{5}} = -10$

Возведем обе части в 5-ю степень:

$((x-1)^{\frac{1}{5}})^5 = (-10)^5$

$x-1 = -100000$

$x_2 = -99999$

Поскольку корень пятой степени (нечетной) определен для любых действительных чисел, оба найденных значения являются корнями уравнения.

Ответ: $100001; -99999$.

3) $(x-5)^{\frac{3}{7}} = 0$

Исходное уравнение: $(x-5)^{\frac{3}{7}} = 0$.

Степень выражения равна нулю тогда и только тогда, когда ее основание равно нулю (при условии, что показатель степени — положительное число).

Показатель степени $\frac{3}{7} > 0$, поэтому приравниваем основание к нулю:

$x-5=0$

Решая это простое линейное уравнение, получаем:

$x=5$

Ответ: $5$.