Номер 23.31, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.31, страница 230.

Условие.

23.31. Упростите выражение $(a^{0.125} + b^{0.75})(a^{0.25} + b^{1.5})(a^{0.5} + b^{3})(a + b^{6}).$

Решение.

23.31.

Рассмотрим выражение: $(a^{0,125} + b^{0,75})(a^{0,25} + b^{1,5})(a^{0,5} + b^{3})(a + b^{6})$.

Заметим, что показатели степеней у переменных $a$ и $b$ в каждой следующей скобке удваиваются. Это наводит на мысль о последовательном использовании формулы разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Чтобы применить эту формулу, умножим и разделим исходное выражение на множитель $(a^{0,125} - b^{0,75})$, при условии, что он не равен нулю (то есть $a^{0,125} \neq b^{0,75}$).

Выражение примет вид:

$\frac{(a^{0,125} - b^{0,75})(a^{0,125} + b^{0,75})(a^{0,25} + b^{1,5})(a^{0,5} + b^{3})(a + b^{6})}{a^{0,125} - b^{0,75}}$

Теперь последовательно применим формулу разности квадратов к числителю, "сворачивая" пары скобок:

1. Произведение первых двух скобок: $(a^{0,125} - b^{0,75})(a^{0,125} + b^{0,75}) = (a^{0,125})^2 - (b^{0,75})^2 = a^{0,125 \cdot 2} - b^{0,75 \cdot 2} = a^{0,25} - b^{1,5}$.

2. Подставим полученный результат в числитель и умножим на следующую скобку: $(a^{0,25} - b^{1,5})(a^{0,25} + b^{1,5}) = (a^{0,25})^2 - (b^{1,5})^2 = a^{0,25 \cdot 2} - b^{1,5 \cdot 2} = a^{0,5} - b^{3}$.

3. Снова подставим и умножим: $(a^{0,5} - b^{3})(a^{0,5} + b^{3}) = (a^{0,5})^2 - (b^{3})^2 = a^{0,5 \cdot 2} - b^{3 \cdot 2} = a^{1} - b^{6} = a - b^{6}$.

4. И последний шаг для числителя: $(a - b^{6})(a + b^{6}) = a^2 - (b^{6})^2 = a^2 - b^{12}$.

Таким образом, числитель дроби стал равен $a^2 - b^{12}$.

В результате упрощения получаем следующее выражение:

$\frac{a^2 - b^{12}}{a^{0,125} - b^{0,75}}$

Ответ: $\frac{a^2 - b^{12}}{a^{0,125} - b^{0,75}}$