Номер 23.35, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.35, страница 230.

Условие.

23.35. Докажите, что не существует такого натурального числа $p$, для которого числа $p+5$ и $p+10$ являются простыми.

Решение.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что такое натуральное число $p$ существует. Это означает, что для некоторого натурального $p$ числа $p + 5$ и $p + 10$ являются простыми.

Рассмотрим разность этих двух чисел. Она составляет:

$(p + 10) - (p + 5) = 5$

Таким образом, если $p+5$ и $p+10$ — простые числа, то они должны быть двумя простыми числами, разность между которыми равна 5. Проанализируем, какие пары простых чисел могут удовлетворять этому условию.

Случай 1: Одно из простых чисел равно 2.

Число 2 — единственное четное простое число. Все остальные простые числа нечетные.

• Если меньшее простое число равно 2, то есть $p + 5 = 2$, то большее число будет $2 + 5 = 7$. Число 7 также является простым. Эта пара (2, 7) удовлетворяет условию. Однако, найдем соответствующее значение $p$: из уравнения $p + 5 = 2$ получаем $p = -3$. Число -3 не является натуральным, что противоречит условию задачи.
• Если большее простое число равно 2, то есть $p + 10 = 2$, то меньшее число будет $2 - 5 = -3$. Число -3 не является простым.

Таким образом, случай, когда одно из чисел равно 2, не приводит к решению для натурального $p$.

Случай 2: Оба простых числа больше 2.

Если простое число больше 2, оно должно быть нечетным. Пусть $p+5$ — нечетное простое число. Тогда число $p+10$ можно представить как сумму нечетного числа ($p+5$) и нечетного числа (5). Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом.
Итак, $p+10$ — четное число.

Поскольку мы рассматриваем случай, когда $p+5 > 2$ (и $p$ натуральное, т.е. $p \ge 1$, откуда $p+5 \ge 6$), то $p+10$ будет больше, чем $2$.
$p+10 > p+5 > 2$.

Получается, что $p+10$ — это четное число, строго большее 2. Единственное четное простое число — это 2. Любое четное число, которое больше 2, является составным (так как делится на 2). Следовательно, $p+10$ не может быть простым числом.

Это противоречит нашему первоначальному предположению.

Мы рассмотрели все возможные случаи и показали, что не существует натурального числа $p$, для которого оба числа $p+5$ и $p+10$ были бы простыми. Наше предположение было неверным.

Ответ: Доказано, что не существует такого натурального числа $p$, для которого числа $p + 5$ и $p + 10$ являются простыми.