Номер 24.4, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Числовые последовательности. Параграф 24. Числовые последовательности - номер 24.4, страница 237.

Условие.

24.4. Последовательность $(b_n)$ задана рекуррентно: $b_1 = 2$, $b_{n+1} = 2b_n$. Является ли членом этой последовательности число 1024?

Решение.

Последовательность $(b_n)$ задана первым членом $b_1 = 2$ и рекуррентной формулой $b_{n+1} = 2b_n$.

Эта формула показывает, что каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на 2. Это определение геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 2$ и знаменатель $q = 2$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим в эту формулу известные нам значения:

$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^1 \cdot 2^{n-1} = 2^{1 + n - 1} = 2^n$.

Теперь нам нужно определить, является ли число 1024 членом этой последовательности. Для этого необходимо проверить, существует ли такое натуральное число $n$, для которого $b_n = 1024$.

Составим уравнение:

$2^n = 1024$

Чтобы решить это уравнение, представим 1024 как степень числа 2:

$1024 = 2^{10}$

Тогда наше уравнение принимает вид:

$2^n = 2^{10}$

Отсюда следует, что $n = 10$.

Так как мы нашли натуральное число $n=10$, это означает, что число 1024 является 10-м членом данной последовательности.

Ответ: да, является.