Номер 23.34, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Степенная функция. Параграф 23. Степень с рациональным показателем и её свойства - номер 23.34, страница 230.

Условие.

23.34. Существуют ли такие натуральные числа $n$ и $k$, что значение выражения $5^n + 1$ кратно значению выражения $5^k - 1$?

Решение.

Предположим, что такие натуральные числа $n$ и $k$ существуют. Это означает, что выражение $5^n + 1$ делится нацело на $5^k - 1$. Поскольку $n$ и $k$ — натуральные числа, то $n \ge 1$ и $k \ge 1$. При этом $5^n+1 > 0$ и $5^k-1 > 0$.

Если $5^n+1$ делится на $5^k-1$, то должно выполняться неравенство $5^n+1 \ge 5^k-1$.

Запишем условие делимости в виде сравнения по модулю:$5^n + 1 \equiv 0 \pmod{5^k - 1}$

Очевидно, что $5^k \equiv 1 \pmod{5^k - 1}$.

Воспользуемся алгоритмом деления с остатком для показателей $n$ и $k$. Представим $n$ в виде:$n = qk + r$, где $q$ — целое неотрицательное число, а $r$ — остаток от деления, $0 \le r < k$.

Тогда $5^n = 5^{qk+r} = (5^k)^q \cdot 5^r$. Подставим это выражение в наше сравнение:$(5^k)^q \cdot 5^r + 1 \equiv 0 \pmod{5^k - 1}$

Так как $5^k \equiv 1 \pmod{5^k-1}$, получаем:$1^q \cdot 5^r + 1 \equiv 0 \pmod{5^k - 1}$$5^r + 1 \equiv 0 \pmod{5^k - 1}$

Это означает, что $5^r + 1$ должно делиться на $5^k - 1$. То есть должно существовать такое натуральное число $m$, что $5^r + 1 = m(5^k - 1)$.

Рассмотрим возможные значения остатка $r$, учитывая, что $0 \le r < k$.

1. Если $r = 0$, то равенство принимает вид $5^0 + 1 = m(5^k - 1)$, то есть $2 = m(5^k - 1)$. Поскольку $k$ — натуральное число ($k \ge 1$), то $5^k - 1 \ge 5^1 - 1 = 4$. Равенство $2 = m(5^k - 1)$ не может выполняться ни при каком натуральном $m$. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Если $r > 0$, то $1 \le r < k$. Из равенства $5^r + 1 = m(5^k - 1)$ и того, что $m \ge 1$, следует, что $5^r + 1 \ge 5^k - 1$. Однако, так как $r$ и $k$ — целые числа и $r < k$, то $r \le k-1$. Поскольку функция $y=5^x$ является строго возрастающей, имеем $5^r \le 5^{k-1}$. Тогда $5^r + 1 \le 5^{k-1} + 1$. Сравним теперь $5^{k-1} + 1$ и $5^k - 1$:$(5^k - 1) - (5^{k-1} + 1) = 5^k - 5^{k-1} - 2 = 5 \cdot 5^{k-1} - 5^{k-1} - 2 = 4 \cdot 5^{k-1} - 2$. При $k \ge 1$, $k-1 \ge 0$, поэтому $5^{k-1} \ge 1$. Значит, $4 \cdot 5^{k-1} - 2 \ge 4 \cdot 1 - 2 = 2 > 0$. Таким образом, для всех натуральных $k$ выполняется строгое неравенство $5^{k-1} + 1 < 5^k - 1$. Объединяя неравенства, получаем:$5^r + 1 \le 5^{k-1} + 1 < 5^k - 1$. Отсюда следует, что $5^r + 1 < 5^k - 1$. Это противоречит необходимому условию $5^r + 1 \ge 5^k - 1$. Значит, и этот случай невозможен.

Так как оба возможных случая для остатка $r$ приводят к противоречию, наше исходное предположение о существовании таких натуральных $n$ и $k$ является неверным.

Ответ: таких натуральных чисел $n$ и $k$ не существует.